Exponenciális növekedés

Egy régi legenda szerint a sakk feltalálója szerény jutalmat kért az uralkodótól: a sakktábla első mezőjére egy szem rizst, a másodikra kettőt, a harmadikra négyet, és minden további mezőre kétszer annyit, mint az előzőre. Az uralkodó állítólag jót nevetett azon, milyen keveset kér a bölcs, és egy zsák rizst hozatott. Csakhogy korán nevetett.

Az első mezőn 1 szem van, vagyis 2⁰. A másodikon 2¹ = 2, a harmadikon 2² = 4, a negyediken 2³ = 8. A kitevő eggyel kisebb, mint a mező sorszáma, így az utolsó, 64. mezőn

$$2^{63}=9223372036854775808$$

szem rizs fekszik. Ez több mint kilenc trillió. Ez azonban csak az utolsó mező, nekünk pedig az egész sakktábla kell. Ha az összes mezőt összeadjuk, azt kapjuk, hogy

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

vagyis pontosan 18 446 744 073 709 551 615 szem rizst.

Miért éppen 2⁶⁴ − 1? Ellenőrizd az első mezőkön: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Az összeg mindig eggyel kisebb, mint a következő mezőn lévő szemek száma.

Egy szem hántolt rizs nagyjából 20 milligrammot nyom, ezer szem tehát körülbelül 20 grammot. Számoljuk ki, mennyit nyomna az egész sakktábla:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369000000000\text{t}$$

Az egész sakktábla nagyjából 369 milliárd tonna rizst nyomna. Az egész világ ezzel szemben évente hozzávetőleg 540 millió tonna hántolt rizst termeszt. Hány évi világtermésre lenne elég? A két szám hányadosa:

$$\frac{369000000000}{540000000}\approx 683$$

Az uralkodónak át kellene adnia a feltalálónak az összes rizst, amelyet az emberiség több mint hatszáz év alatt betakarít. A legérdekesebb, hogy mennyi ideig tűnik ártatlannak a dolog: a sakktábla egész első fele, 32 mező együtt 2³² − 1, azaz körülbelül 4,3 milliárd szemet ad. Ez kb. 86 tonna, néhány teherautónyi. A többi mind a sakktábla második felére kerül.

Összeadás kontra szorzás

Ha valami úgy növekszik, hogy minden lépésben ugyanazt a számot hozzáadjuk, lineáris növekedésről beszélünk. Ha ezzel szemben minden lépésben ugyanazzal a számmal szorozzuk, az exponenciális növekedés. A sakktáblán ez a kettővel való szorzás volt.

A szülők két lehetőséget kínálnak Gyurinak a zsebpénze emelésére. Most havi 300 forintot kap, és vagy minden hónapban emelik 100 forinttal, vagy 10%-kal. Száz forint, vagy csak a háromszáz tíz százaléka, azaz harminc? A választás egyértelműnek tűnik.

Az első hónapban ez valóban így is van. Összeadásnál Gyuri 300 + 100 = 400 forintot kap, szorzásnál 300 · 1,1 = 330 forintot. Fél év múlva az összeadásnál 900 forint jár, a szorzásnál nagyjából 531 forint. A tíz százalékot azonban egyre nagyobb összegből számoljuk, ezért a növekmények nőnek, a száz forint pedig száz forint marad. A 23. hónapban a szorzás megelőzi az összeadást, és attól kezdve egyre jobban elhúz tőle: három év múlva Gyuri összeadásnál 3900 forintot kapna, szorzásnál több mint 9200 forintot. Négy év múlva pedig havi 5100 forintot, szemben a nagyjából 29 100 forinttal.

A kék egyenes egy ideig vezet, de a piros görbe egyre meredekebben emelkedik. Ez általánosan is igaz: az exponenciális növekedés előbb-utóbb megelőz bármilyen lineárisat, csak az a kérdés, mikor.

Az egész exponenciális növekedés belefér egyetlen képletbe:

$$N=N_0\cdot q^t,$$

ahol N₀ a kezdőérték, q az a szám, amellyel egy időszak alatt szorzunk, t pedig az eltelt időszakok száma. Gyurinál N₀ = 300 és q = 1,1, mert a 10% hozzáadása azt jelenti, hogy 1,1-gyel szorzunk. 36 hónap után

$$N=300\cdot 1,1^{36}\approx 9274\text{Ft}$$

jön ki.

A sakktáblán N₀ = 1 és q = 2. A t változó a kitevőben áll, tehát exponenciális függvényről van szó. Ott a kettéosztódó baktériumokat is megtalálod.

Mennyi idő alatt duplázódik meg?

Exponenciális növekedésnél hasznos megkérdezni, mennyi idő alatt duplázódik meg az érték. Ez a duplázódási idő nem változik, bármikor kezdjük is. Ha valami tíz év alatt megduplázódik, újabb tíz év múlva újra megduplázódik, húsz év alatt pedig négyszeresére nő.

A becsléshez egy egyszerű segédeszköz szolgál, a 70-es szabály: ha valami időszakonként p százalékkal nő, akkor nagyjából

$$\frac{70}{p}$$

időszak alatt duplázódik meg. Ha az árak az üzletben minden évben 7%-kal emelkednek, kb. 70:7 = 10 év alatt megduplázódnak. A kifli, amely ma 4 forintba kerül, tíz év múlva már majdnem nyolcba kerülne. Az évi 3%-os kamattal elhelyezett pénz ezzel szemben körülbelül 70:3 ≈ 23 év alatt duplázódik meg. A kamatot ugyanis a korábbi kamatokra is számítják, ezért kamatos kamatról van szó, vagyis megint exponenciális növekedésről.

Miért éppen hetven? A pontos duplázódási időt a logaritmus segítségével kapjuk meg. Olyan t-t keresünk, amely megoldja az exponenciális egyenletet:

$$1,{07}^t=2.$$

Az egyenlet mindkét oldalának vesszük a logaritmusát, amitől a kitevő a logaritmus elé kerül:

$$t\cdot \lg 1,07=\lg 2$$

Most már csak osztani kell:

$$t=\frac{\lg 2}{\lg 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Az árak tehát valamivel kevesebb mint tíz és negyed év alatt duplázódnának meg, a 70-es szabály szinte pontosan talált. A hetvenes szám onnan jön, hogy két logaritmus hányadosa ugyanaz, bármilyen alapú logaritmust veszünk. A természetes logaritmussal (ln) és az általános p százalékos növekedéssel azt kapjuk, hogy

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

mert kis százalékoknál $\ln (1+\frac{p}{100})$ nagyjából $\frac{p}{100}$. A 69,3 helyett 70-et veszünk, mert könnyebb vele osztani. A szabály így néhány százaléknál jól működik, több tíz százaléknál már kicsit téved.

Tavirózsák a tavon

Mielőtt tovább olvasol, próbáld meg magad megfejteni ezt a fejtörőt. Egy tavon tavirózsák nőnek, és minden nap kétszer annyi van belőlük, mint az előző napon. 30 nap alatt befedik az egész tavat. Hányadik napon volt a tó fele borítva?

Kézenfekvő a válasz, hogy a tizenötödik napon, hiszen a tizenöt a harminc fele. Csakhogy a tavirózsák száma naponta megduplázódik, tehát ha a 30. napon az egész tó be van fedve, az előző napon még csak a fele lehetett. A tó fele a 29. napon volt tavirózsákkal borítva.

Ha még tovább megyünk vissza az időben: a 28. napon a negyede volt befedve, a 27. napon a nyolcada, a 26. napon a tizenhatoda, a 25. napon pedig csak a vízfelület kb. 3%-a. Aki a 25. napon nézett volna ki a tóhoz, szinte tiszta vizet látott volna, és arra jutott volna, hogy van még idő. Pedig mindössze öt nap múlva a tó teljesen benő.

Az exponenciális növekedésben éppen ez az alattomos. Az idő nagy részében ártatlannak tűnik, és mire szabad szemmel is látszik, már csak néhány duplázódás van hátra a végéig.

Járvány

Ugyanilyen ütemben terjedhet egy betegség is. Tegyük fel, hogy a városban ma 100 fertőzött van, és az esetek száma háromnaponta megduplázódik. 30 nap alatt így tízszer duplázódik meg:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

Száz betegből egy hónap alatt több mint százezer lesz. Ezért sürgetik a járványügyi szakemberek az intézkedéseket akkor, amikor a számok még kicsik, és az emberek úgy érzik, nem történik semmi. Éppen a tó 25. napján vagyunk.

Hogy milyen gyorsan terjed a betegség, azt a reprodukciós szám írja le, R. Leegyszerűsítve: átlagosan hány másik embert fertőz meg egy beteg. Ha R = 2, mindenki két másikat fertőz meg, azok négyet, és a betegek minden „nemzedéke” kétszer akkora. Ha egy nemzedék nagyjából három napig tart, pontosan a fenti példához jutunk vissza. Ha sikerül R-t egy alá szorítani, például 0,8-ra, a betegek száma minden nemzedékben egynél kisebb számmal szorzódik, és a járvány lassul. A 100 fertőzöttből a tizedik nemzedékben már csak körülbelül

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

ember fertőződik meg.

Az R = 0,8 és az R = 2 közötti különbség kicsinek tűnik. Tíz nemzedék után viszont szakadék lesz belőle: tizenegy és százkétezer beteg között.

Hajtogass papírt negyvenkétszer

Végy egy papírlapot, amely nagyjából egytized milliméter vastag. Hajtsd félbe, és két réteg lesz belőle, vagyis két tized milliméter. Hajtsd félbe újra, és négy réteg lesz. Minden hajtás megduplázza a vastagságot. Milyen vastag lenne a papír 42 hajtás után?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440000000000\text{mm}=440000\text{km}$$

A Hold a Földtől átlagosan nagyjából 384 000 km-re van. A negyvenkétszer összehajtott papír elérne odáig, sőt még egy darabon túl is nyúlna.

Kipróbálnod nem kell, kézzel úgysem tudsz egy papírlapot hétszernél többször összehajtani. Hét hajtás után 128 rétege van, és alig 1,3 cm vastag, ráadásul egyre kisebb és merevebb. A rekord tizenhárom hajtás, és ehhez egy kb. 16 km hosszú vécépapírcsíkra volt szükség.

Miért tűnik nekünk ez a szám képtelenségnek? Az összeadással megbirkózik az intuíciónk. Ha elképzelünk 42 lépést, 42 egyforma lépést képzelünk el egymás mellett. Itt viszont minden lépés annyit ad hozzá, amennyi a papír eddigi teljes vastagsága. Tíz hajtás után a papír kb. 10 cm vastag, húsz után több mint 100 m, harminc után pedig már 107 km magasra ér. Az utolsó tizenkét hajtás pedig, amellyel a papír eljut a Holdig, egyszerűen újabb tizenkét duplázódás.

Örökké nem tarthat

Ha a tavirózsák ugyanilyen ütemben szaporodnának tovább, a 31. napon két tavat borítanának be, a 40. napon ezer tavat. Persze nem így van. A tónak korlátozott a területe, a baktériumoknak korlátozott a táplálékuk, a betegségnek pedig nincs kit megfertőznie, ha a legtöbben már átestek rajta. A természetben az exponenciális növekedés csak addig tart, amíg el nem fogy a hely vagy a forrás.

Ekkor a növekedés lelassul, és az érték egy olyan plafonhoz közelít, amelyet a környezet még eltart. Az ilyen növekedés grafikonja megnyúlt S betűre emlékeztet, ezért S-görbének hívják, szakszóval logisztikus növekedésnek.

Kezdetben a két görbe alig különbözik. Elég a forrás, semmi sem fékez, ezért az S-görbe is exponenciálisan nő. Már az út fele előtt elkezd letérni az exponenciálisról, a K plafon felénél nő a leggyorsabban, aztán ellaposodik, és a plafonhoz már csak lassan közelít. A baj az, hogy a grafikon kezdeti szakaszából nem lehet megállapítani, exponenciális görbét látsz-e, vagy S-görbét. Ez csak később derül ki.

Ugyanezen minta szerint az érték csökkenhet is. Elég, ha az értéket minden időszakban egynél kisebb számmal szorozzuk, mint a járványnál R = 0,8 esetén. Tankönyvi példa a radioaktív bomlás. A duplázódási idő helyett itt felezési időről beszélünk, vagyis arról az időről, amely alatt az anyag fele elbomlik. A radioaktív cézium-137 felezési ideje nagyjából 30 év. 30 év után belőle a fele marad, 60 év után a negyede, 90 év után a nyolcada. Matematikailag csak felezzük és felezzük, és nullára soha nem csökken. Az anyag azonban atomokból áll, így egy gramm céziumból nagyjából kétezer év múlva az utolsó atom is elbomlik.

Lásd még

• Exponenciális függvény
• Logaritmusfüggvények
• Kamatos kamat