Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce je funkce, která má v čitateli i ve jmenovateli lineární funkci:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Úplně nejjednodušší lineární lomená funkce je $y=\frac{k}{x}$. Možná ji znáte ze základní školy jako nepřímou úměrnost z trojčlenky. Z Opavy do Ostravy je to zhruba 30 kilometrů. Pojedete-li 30 km/h, budete tam za hodinu, při 60 km/h za půl hodiny a na kole 15 km/h dorazíte za dvě hodiny. Dvakrát vyšší rychlost, poloviční čas. Doba jízdy v hodinách je tedy

$$t=\frac{30}{v},$$

kde v je rychlost v kilometrech za hodinu. A to je právě funkce $y=\frac{k}{x}$ s k = 30.

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola, a to rovnoosá, tedy s asymptotami kolmými na sebe. Oproti obrázkům v tamním článku je navíc natočená tak, že se nepřibližuje ke zkříženým šikmým přímkám, ale k vodorovné a svislé. Takhle vypadá třeba graf funkce $y=\frac{x-1}{x-2}$, asymptoty jsou modré čárkované přímky x = 2 a y = 1:

K předpisu patří ještě dvě podmínky, c ≠ 0 a ad − bc ≠ 0. Kdyby bylo c = 0, ve jmenovateli by nebylo žádné x a dostali bychom obyčejnou lineární funkci. Při ad − bc = 0 je zase čitatel násobkem jmenovatele, zlomek se zkrátí a zůstane konstantní funkce.

Funkce k lomeno x

Začneme funkcí $y=\frac{k}{x}$. Za x nulu dosadit nesmíme, protože nulou dělit neumíme, a definiční obor proto je D(f) = ℝ ∖ {0}. Nulu ale nikdy nedostaneme ani jako výsledek, zlomek s nenulovým čitatelem nulový být nemůže. Proto i obor hodnot je H(f) = ℝ ∖ {0}.

Zkusíme dosadit pár čísel do funkce $y=\frac{2}{x}$. Pro x = 1 vyjde y = 2, pro x = 2 dostaneme y = 1 a pro x = 4 už jen $y=\frac{1}{2}$. Čím větší x, tím těsněji se graf přimyká k ose x, aniž by se jí kdy dotkl. Naopak čím blíž je x k nule, tím větší y dostaneme: pro $x=\frac{1}{10}$ vyjde y = 20. Graf tedy vystřelí podél osy y vzhůru. U záporných x je to totéž, jen s opačným znaménkem.

Červená křivka na obrázku patří funkci $y=\frac{2}{x}$, modrá funkci $y=-\frac{2}{x}$. Oranžové body odpovídají hodnotám, které jsme si právě spočítali. O poloze větví rozhoduje znaménko čísla k:

• pro k>0 leží větve hyperboly v I. a III. kvadrantu,
• pro k<0 leží ve II. a IV. kvadrantu.

Osám x a y, ke kterým se graf přibližuje, říkáme asymptoty.

Teď ale pozor na past, do které padá skoro každý. Funkce $y=\frac{2}{x}$ je přece klesající, ne? Každá červená větev zvlášť opravdu klesá. Jenže zkusme x₁ = −1 a x₂ = 1. Platí x₁<x₂, a přitom f(−1) = −2 je menší než f(1) = 2. Funkce tedy není klesající na celém D(f), je klesající samostatně na intervalu (−∞, 0) a samostatně na intervalu (0, ∞). Kdo napíše, že je klesající na ℝ ∖ {0}, má chybu.

Posunutý graf a převod obecného tvaru

Graf funkce $y=\frac{k}{x}$ můžeme posouvat stejně jako parabolu u kvadratické funkce. Funkce

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

má týž graf jako $y=\frac{k}{x}$, jen posunutý o m doprava a o n nahoru. Pozor na znaménko: ve jmenovateli je x − m, takže $\frac{k}{x-3}$ se posouvá o tři doprava, ne doleva. S grafem se posunou i asymptoty, takže už to nejsou osy, ale přímky x = m a y = n. Svislá asymptota leží tam, kde je ve jmenovateli nula. Když se x blíží k číslu m, je jmenovatel malinký a zlomek obrovský, takže graf uhání nahoru nebo dolů. Vodorovná asymptota leží tam, kam se funkční hodnoty blíží, když je x hodně daleko od nuly, na kladné i záporné straně. Zlomek $\frac{k}{x-m}$ je pak téměř nulový a zbude jen n.

Obecný předpis $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ale v tomhle tvaru obvykle nemáme. Ukážeme si převod na funkci

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Ve jmenovateli je x − 1, a tak se pokusíme tentýž výraz vyrobit i v čitateli. Dvojnásobek x − 1 je 2x − 2, a abychom z toho dostali čitatel 2x + 1, musíme přičíst ještě tři:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Dosadíme do zlomku:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Zlomek rozdělíme na součet dvou:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

V prvním zlomku zkrátíme x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

K témuž výsledku se dopracujete i dělením mnohočlenů: (2x + 1):(x − 1) vyjde 2 se zbytkem 3. Z výsledku už snadno vyčteme m = 1, n = 2 a k = 3. Asymptoty jsou přímky x = 1 a y = 2. Jelikož je k kladné, leží větve vůči asymptotám vpravo nahoře a vlevo dole, podobně jako u $y=\frac{2}{x}$.

Definiční obor poznáme podle jmenovatele, který nesmí být nulový, tedy x ≠ 1. Hodnoty 2 funkce naopak nenabude, protože zlomek $\frac{3}{x-1}$ nulový být nemůže:

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\},H(f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Zbývají průsečíky s osami. V průsečíku s osou x je y = 0 a zlomek je nulový jedině tehdy, když je nulový čitatel:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Průsečík s osou y najdeme tak, že za x dosadíme nulu:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Graf protíná osu x v bodě $[-\frac{1}{2},0]$ a osu y v bodě [0, −1]. Oba průsečíky jsou na obrázku oranžově, asymptoty šedě čárkovaně:

Všimněte si, že průsečík s osou y vyšel i z upraveného tvaru: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Sedí.