Eksponentiaalinen kasvu

Vanha legenda kertoo, että shakkipelin keksijä pyysi hallitsijalta vaatimatonta palkkiota: shakkilaudan ensimmäiselle ruudulle yksi riisinjyvä, toiselle kaksi, kolmannelle neljä ja jokaiselle seuraavalle ruudulle kaksi kertaa niin paljon kuin edelliselle. Hallitsija nauroi kuulemma sitä, kuinka vähän viisas mies toivoo, ja käski tuoda säkillisen riisiä. Hän nauroi kuitenkin liian aikaisin.

Ensimmäisellä ruudulla on 1 jyvä, eli 2⁰. Toisella 2¹ = 2, kolmannella 2² = 4, neljännellä 2³ = 8. Eksponentti on yhtä pienempi kuin ruudun numero, joten viimeisellä, 64. ruudulla on

$$2^{63}=9223372036854775808$$

jyvää. Se on yli yhdeksän triljoonaa. Se on kuitenkin vasta viimeinen ruutu, ja kysymys koskee koko shakkilautaa. Kun lasketaan kaikki ruudut yhteen, saadaan

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

eli tasan 18 446 744 073 709 551 615 jyvää.

Miksi juuri 2⁶⁴ − 1? Tarkista se ensimmäisillä ruuduilla: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Summa on aina yhtä pienempi kuin seuraavan ruudun jyvien määrä.

Yksi kuorittu riisinjyvä painaa noin 20 milligrammaa, tuhat jyvää siis noin 20 grammaa. Lasketaan, kuinka paljon koko shakkilauta painaisi:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369000000000\text{t}$$

Koko shakkilauta painaisi noin 369 miljardia tonnia riisiä. Koko maailma sen sijaan kasvattaa vuodessa noin 540 miljoonaa tonnia kuorittua riisiä. Kuinka monen vuoden maailmanlaajuista satoa se vastaisi? Lukujen osamäärä:

$$\frac{369000000000}{540000000}\approx 683$$

Hallitsijan pitäisi luovuttaa keksijälle kaikki riisi, jonka ihmiskunta korjaa yli kuudessasadassa vuodessa. Mielenkiintoisinta on, kuinka pitkään tämä näyttää viattomalta: koko shakkilaudan ensimmäinen puolikas, 32 ruutua, antaa yhteensä 2³² − 1, eli noin 4,3 miljardia jyvää. Se on noin 86 tonnia, muutama kuorma-auto. Loput kaadetaan vasta shakkilaudan toiselle puolikkaalle.

Yhteenlasku vastaan kertolasku

Jos jokin kasvaa niin, että siihen lisätään joka askeleella sama luku, puhutaan lineaarisesta kasvusta. Jos sen sijaan joka askeleella kerrotaan samalla luvulla, kyseessä on eksponentiaalinen kasvu. Shakkilaudalla kerrottiin kahdella.

Vanhemmat tarjoavat Einolle kahta tapaa korottaa hänen taskurahaansa. Nyt hän saa 30 € kuukaudessa, ja vanhemmat korottavat sitä joka kuukausi joko 10 eurolla tai 10 %:lla. Kymmenen euroa vai vain kymmenen prosenttia kolmestakympistä, eli kolme euroa? Valinta vaikuttaa selvältä.

Ensimmäisenä kuukautena se pitääkin paikkansa. Yhteenlaskulla Eino saa 30 + 10 = 40 €, kertolaskulla 30 · 1,1 = 33 €. Puolen vuoden kuluttua yhteenlaskulla on 90 € ja kertolaskulla noin 53 €. Kymmenen prosenttia lasketaan kuitenkin yhä suuremmasta summasta, joten lisäykset kasvavat, kun taas kymppi pysyy kymppinä. 23. kuukautena kertolasku ohittaa yhteenlaskun, ja siitä hetkestä lähtien ero vain kasvaa: kolmen vuoden kuluttua Eino saisi yhteenlaskulla 390 €, kertolaskulla yli 920 €. Ja neljän vuoden kuluttua 510 € vastaan noin 2 910 € kuukaudessa.

Sininen suora on hetken johdossa, mutta punainen käyrä nousee yhä jyrkemmin. Tämä pätee yleisesti: eksponentiaalinen kasvu ohittaa ennemmin tai myöhemmin minkä tahansa lineaarisen kasvun, kysymys on vain milloin.

Koko eksponentiaalisen kasvun voi esittää yhdellä kaavalla

$$N=N_0\cdot q^t,$$

jossa N₀ on alkuarvo, q on luku, jolla kerrotaan yhden jakson aikana, ja t on kuluneiden jaksojen määrä. Einon tapauksessa N₀ = 30 ja q = 1,1, koska 10 %:n lisääminen tarkoittaa kertomista luvulla 1,1. 36 kuukauden jälkeen saadaan

$$N=30\cdot 1,1^{36}\approx 927\text{€}.$$

Shakkilaudalla N₀ = 1 ja q = 2. Muuttuja t on eksponentissa, joten kyseessä on eksponenttifunktio. Sieltä löytyvät myös bakteerit, jotka jakautuvat kahtia.

Kuinka pian se kaksinkertaistuu?

Eksponentiaalisessa kasvussa on kätevää kysyä, kuinka pian arvo kaksinkertaistuu. Tämä kaksinkertaistumisaika on sama, aloitettiinpa laskeminen milloin tahansa. Jos jokin kaksinkertaistuu kymmenessä vuodessa, se kaksinkertaistuu uudelleen seuraavan kymmenen vuoden aikana, ja kahdessakymmenessä vuodessa se on nelinkertainen.

Arvioimiseen sopii yksinkertainen apukeino, 70-sääntö: jos jokin kasvaa p prosenttia jaksossa, se kaksinkertaistuu noin

$$\frac{70}{p}$$

jaksossa. Jos hinnat kaupassa nousevat joka vuosi 7 %, ne kaksinkertaistuvat noin 70:7 = 10 vuodessa. Sämpylä, joka maksaa nyt 0,50 €, maksaisi kymmenen vuoden päästä lähes euron. 3 %:n vuosikorolla talletetut rahat sen sijaan kaksinkertaistuvat noin 70:3 ≈ 23 vuodessa. Korot nimittäin lasketaan myös aiemmista koroista, ja kyseessä on siksi korkoa korolle, eli taas eksponentiaalinen kasvu.

Miksi juuri seitsemänkymmentä? Tarkka kaksinkertaistumisaika selvitetään logaritmin avulla. Etsitään t, joka ratkaisee eksponenttiyhtälön

$$1,{07}^t=2.$$

Yhtälön molemmista puolista otetaan logaritmi, jolloin eksponentti putoaa logaritmin eteen:

$$t\cdot \lg 1,07=\lg 2$$

Nyt riittää jakaa:

$$t=\frac{\lg 2}{\lg 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Hinnat kaksinkertaistuisivat siis noin 10,2 vuodessa, ja 70-sääntö osui lähes tarkasti kohdalleen. Seitsemänkymmenen taustalla on se, että kahden logaritmin osamäärä on sama, minkä kantaluvun logaritmin tahansa otetaankin. Luonnollisella logaritmilla ln ja yleisellä p prosentin kasvulla saadaan

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

koska pienillä prosenteilla $\ln (1+\frac{p}{100})$ on suunnilleen $\frac{p}{100}$. Luvun 69,3 sijasta käytetään lukua 70, koska se on helpompi jakaa. Sääntö toimii siis hyvin muutaman prosentin kasvuille, mutta kymmenien prosenttien kohdalla se vääristyy jo hieman.

Lumpeet lammella

Ennen kuin luet eteenpäin, yritä ratkaista tämä älypulma itse. Lammella kasvaa lumpeita, ja joka päivä niitä on kaksi kertaa niin paljon kuin edellisenä päivänä. 30 päivässä ne peittävät koko lammen. Monentenako päivänä puolet lammesta oli peitossa?

Ensimmäisenä mieleen tulee vastaus viidestoista päivä, onhan viisitoista puolet kolmestakymmenestä. Lumpeiden määrä kuitenkin kaksinkertaistuu päivittäin, joten kun koko lampi on peitossa 30. päivänä, sen täytyi olla edellisenä päivänä puoliksi peitossa. Puolet lammesta oli lumpeiden peitossa 29. päivänä.

Jos mennään ajassa vielä kauemmas taaksepäin: 28. päivänä peitossa oli neljännes, 27. päivänä kahdeksasosa, 26. päivänä kuudestoistaosa, 25. päivänä vain noin 3 % pinnasta. Se, joka olisi mennyt katsomaan lampea 25. päivänä, olisi nähnyt lähes puhdasta vettä ja päätellyt, että aikaa on vielä paljon. Ja vain viidessä päivässä lampi on kokonaan umpeen kasvanut.

Juuri tämä on eksponentiaalisessa kasvussa petollista. Suurimman osan ajasta se näyttää viattomalta, ja kun se on jo paljaalla silmällä nähtävissä, loppuun on jäljellä vain muutama kaksinkertaistuminen.

Epidemia

Samalla tahdilla voi levitä myös tauti. Sanotaan, että kaupungissa on tänään 100 tartunnan saanutta ja tapausten määrä kaksinkertaistuu joka kolmas päivä. 30 päivässä se kaksinkertaistuu siis kymmenen kertaa:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

Sadasta sairaasta on kuukaudessa yli satatuhatta. Siksi epidemiologit ajavat rajoitustoimia silloin, kun luvut ovat vielä pieniä ja ihmisistä tuntuu, ettei mitään tapahdu. Silloin ollaan nimittäin lammella 25. päivänä.

Sitä, kuinka nopeasti tauti leviää, kuvaa reproduktioluku R. Yksinkertaistaen: kuinka monta muuta ihmistä yksi sairas keskimäärin tartuttaa. Jos R = 2, jokainen tartuttaa kaksi muuta, nämä kaksi tartuttavat neljä ja jokainen sairaiden ”sukupolvi” on kaksi kertaa suurempi. Jos yksi sukupolvi kestää noin kolme päivää, palataan täsmälleen yllä olevaan esimerkkiin. Kun R saadaan painettua alle yhden, esimerkiksi arvoon 0,8, sairaiden määrä kerrotaan joka sukupolvessa yhtä pienemmällä luvulla ja epidemia heikkenee. Sadasta tartunnan saaneesta kymmenennessä sukupolvessa tartunnan saa enää noin

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

ihmistä.

Ero arvojen R = 0,8 ja R = 2 välillä vaikuttaa pieneltä. Kymmenen sukupolven jälkeen siitä on kuitenkin muodostunut kuilu yhdentoista ja 102 000 sairaan välillä.

Taita paperi neljäkymmentäkaksi kertaa

Ota paperiarkki, jonka paksuus on noin kymmenesosa millimetriä. Taita se kahtia, ja saat kaksi kerrosta, eli kaksi kymmenesosamillimetriä. Taita se uudelleen, ja saat neljä kerrosta. Jokainen taitto kaksinkertaistaa paksuuden. Kuinka paksu paperi olisi 42 taiton jälkeen?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440000000000\text{mm}=440000\text{km}$$

Kuu on keskimäärin noin 384 000 kilometrin päässä Maasta. 42 kertaa taitettu paperi ylettyisi sinne ja vielä vähän ylikin.

Kokeilla sitä ei tarvitse, sillä paperiarkkia ei saa käsin taitettua useammin kuin seitsemän kertaa. Seitsemän taiton jälkeen siinä on 128 kerrosta ja se on vajaat 1,3 cm paksu, ja lisäksi se on yhä pienempi ja jäykempi. Ennätys on kolmetoista taittoa, ja siihen tarvittiin noin 16 km pitkä kaistale vessapaperia.

Miksi tämä luku tuntuu mielettömältä? Intuitio selviää yhteenlaskusta. Kun kuvitellaan 42 askelta, kuvitellaan 42 samanlaista askelta peräkkäin. Tässä jokainen askel kuitenkin lisää yhtä paljon kuin paperin koko paksuus tähän asti. Kymmenen taiton jälkeen paperi on noin 10 cm paksu, kahdenkymmenen jälkeen yli 100 m ja kolmenkymmenen jälkeen se yltää jo 107 km:n korkeuteen. Ja viimeiset kaksitoista taittoa, joilla paperi yltää Kuuhun, ovat yksinkertaisesti vielä kaksitoista kaksinkertaistumista.

Ikuisesti se ei kestä

Jos lumpeet lisääntyisivät samalla tahdilla edelleen, 31. päivänä ne peittäisivät kaksi lampea, 40. päivänä tuhat lampea. Näin se tietenkään ei toimi. Lammen pinta-ala on rajallinen, bakteereilla on rajallinen määrä ravintoa, eikä taudilla ole ketä tartuttaa, kun suurin osa ihmisistä on jo sairastanut sen. Luonnossa eksponentiaalinen kasvu kestää vain siihen asti, kun tila tai resurssit alkavat loppua.

Silloin kasvu hidastuu ja arvo lähestyy kattoa, jonka ympäristö pystyy ylläpitämään. Tällaisen kasvun kuvaaja näyttää venytetyltä S-kirjaimelta, siksi sitä kutsutaan S-käyräksi, tieteellisesti logistiseksi kasvuksi.

Alussa käyrät tuskin eroavat toisistaan. Resursseja on tarpeeksi, joten mikään ei jarruta ja S-käyrä kasvaa eksponentiaalisesti. Jo ennen puoltamatkaa se alkaa poiketa eksponenttikäyrästä, puolivälissä matkalla kattoon K se kasvaa nopeimmin, ja sitten se taipuu ja lähestyy kattoa vain hitaasti. Ongelma on siinä, ettei kuvaajan alkuosasta voi tunnistaa, katsotaanko eksponenttikäyrää vai S-käyrää. Se selviää vasta myöhemmin.

Saman mallin mukaan arvo voi myös pienentyä. Riittää, että arvo kerrotaan joka jaksossa yhtä pienemmällä luvulla, kuten epidemiassa, jossa R = 0,8. Oppikirjaesimerkki on radioaktiivinen hajoaminen. Kaksinkertaistumisajan sijaan puhutaan puoliintumisajasta, eli ajasta, jossa puolet aineesta hajoaa. Radioaktiivisen cesium-137:n puoliintumisaika on noin 30 vuotta. 30 vuoden jälkeen siitä on jäljellä puolet, 60 vuoden jälkeen neljännes, 90 vuoden jälkeen kahdeksasosa. Matemaattisesti ajatellen se vain puolittuu ja puolittuu eikä koskaan laske nollaan. Aine koostuu kuitenkin atomeista, ja siksi gramman cesiumista hajoaa noin kahden tuhannen vuoden kuluttua viimeinenkin atomi.

Katso myös

• Eksponenttifunktio
• Logaritmifunktio
• Korkoa korolle