Eksponentiell vekst

En gammel legende forteller at oppfinneren av sjakk ba kongen om en beskjeden belønning: ett riskorn på det første feltet på sjakkbrettet, to på det andre, fire på det tredje og på hvert felt etter det dobbelt så mange som på det forrige. Kongen skal ha ledd av hvor lite vismannen ba om, og beordret at en sekk ris skulle hentes. Men han lo for tidlig.

På det første feltet er det 1 korn, altså 2⁰. På det andre 2¹ = 2, på det tredje 2² = 4, på det fjerde 2³ = 8. Eksponenten er én mindre enn nummeret på feltet, så på det siste, det 64. feltet, ligger det

$$2^{63}=9223372036854775808$$

korn. Det er over ni trillioner. Men det er bare det siste feltet, og vi er interessert i hele sjakkbrettet. Når vi legger sammen alle feltene, får vi

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

altså nøyaktig 18 446 744 073 709 551 615 korn.

Hvorfor akkurat 2⁶⁴ − 1? Kontroller det på de første feltene: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Summen er hver gang én mindre enn antall korn på neste felt.

Ett skrelt riskorn veier omtrent 20 milligram, så tusen korn veier omtrent 20 gram. Vi regner ut hvor mye hele sjakkbrettet ville veid:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369000000000\text{tonn}$$

Hele sjakkbrettet ville veid omtrent 369 milliarder tonn ris. Hele verden dyrker derimot omtrent 540 millioner tonn skrellet ris i året. Hvor mange års verdenshøst ville det rukket til? Kvotienten av de to tallene:

$$\frac{369000000000}{540000000}\approx 683$$

Kongen måtte ha gitt oppfinneren all risen menneskeheten høster på over seks hundre år. Det mest interessante er hvor lenge det ser uskyldig ut: hele den første halvparten av sjakkbrettet, 32 felt, gir til sammen 2³² − 1, altså omtrent 4,3 milliarder korn. Det er rundt 86 tonn, noen få lastebiler. Resten blir fylt på den andre halvparten av sjakkbrettet.

Addisjon mot multiplikasjon

Hvis noe vokser slik at det i hvert steg legges til det samme tallet, snakker vi om lineær vekst. Hvis det derimot i hvert steg ganges med det samme tallet, er det eksponentiell vekst. På sjakkbrettet var det multiplikasjon med to.

Foreldrene tilbyr Jakob to måter å øke lommepengene hans på. Nå får han 300 kr i måneden, og de vil enten øke dem med 100 kr hver måned eller med 10 %. Hundre kroner, eller bare ti prosent av tre hundre, altså tretti? Valget virker klart.

Den første måneden stemmer det faktisk. Ved addisjon får Jakob 300 + 100 = 400 kr, ved multiplikasjon 300 · 1,1 = 330 kr. Etter et halvt år har addisjon gitt 900 kr og multiplikasjon omtrent 531 kr. Men ti prosent regnes av et stadig større beløp, så økningene vokser, mens hundrelappen forblir en hundrelapp. I den 23. måneden tar multiplikasjonen igjen addisjonen, og fra da av øker forskjellen bare: etter tre år ville Jakob få 3900 kr ved addisjon, men over 9200 kr ved multiplikasjon. Og etter fire år 5100 kr mot omtrent 29 100 kr i måneden.

Den blå linjen leder en stund, men den røde kurven stiger stadig brattere. Det gjelder generelt: eksponentiell vekst innhenter før eller siden hvilken som helst lineær vekst, spørsmålet er bare når.

Hele den eksponentielle veksten får plass i én formel

$$N=N_0\cdot q^t,$$

der N₀ er startverdien, q er tallet som ganges med per periode, og t er antall perioder som har gått. For Jakob er N₀ = 300 og q = 1,1, siden det å legge til 10 % betyr å gange med tallet 1,1. Etter 36 måneder får vi

$$N=300\cdot 1,1^{36}\approx 9274\text{kr}.$$

På sjakkbrettet er N₀ = 1 og q = 2. Variabelen t står i eksponenten, så dette er en eksponentialfunksjon. Der finner du også bakteriene som deler seg i to.

Hvor lang tid tar det å doble seg?

Ved eksponentiell vekst er det nyttig å spørre hvor lang tid det tar før verdien dobles. Denne fordoblingstiden endrer seg ikke, uansett når vi begynner. Hvis noe dobles på ti år, dobles det på nytt etter ti år til, og etter tjue år er det fire ganger så mye.

For å anslå det finnes en enkel huskeregel, 70-regelen: hvis noe vokser med p prosent per periode, dobles det omtrent etter

$$\frac{70}{p}$$

perioder. Hvis prisene i butikken stiger med 7 % hvert år, dobles de på omtrent 70:7 = 10 år. Et rundstykke som i dag koster 20 kr, ville om ti år kostet nesten 40 kr. Penger som står på konto med 3 % rente i året, dobles derimot på omtrent 70:3 ≈ 23 år. Renten regnes nemlig også av tidligere renter, og dette er derfor rentesrente, altså igjen eksponentiell vekst.

Hvorfor akkurat sytti? Den nøyaktige fordoblingstiden finner vi ved hjelp av logaritmer. Vi leter etter t som løser eksponentiallikningen

$$1,{07}^t=2.$$

Vi tar logaritmen av likningen, og da faller eksponenten ned foran logaritmen:

$$t\cdot \lg 1,07=\lg 2$$

Nå holder det å dele:

$$t=\frac{\lg 2}{\lg 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Prisene ville altså blitt doblet på litt over ti år, og 70-regelen traff nesten nøyaktig. Tallet sytti kommer av at kvotienten av to logaritmer er den samme uansett hvilket grunntall vi bruker. Med den naturlige logaritmen ln og generell vekst på p prosent får vi

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

fordi $\ln (1+\frac{p}{100})$ for små prosenter er omtrent $\frac{p}{100}$. I stedet for 69,3 bruker vi 70, fordi det er lettere å dele på. Regelen fungerer derfor godt for noen få prosent, men for titalls prosent tar den litt feil.

Nøkkeroser i en dam

Før du leser videre, prøv å knekke denne gåten selv. I en dam vokser det nøkkeroser, og hver dag er det dobbelt så mange som dagen før. Etter 30 dager dekker de hele dammen. Hvilken dag var halvparten av dammen dekket?

Svaret femtende dag virker naturlig, for femten er halvparten av tretti. Men antall nøkkeroser dobles hver dag, så når hele dammen er dekket den 30. dagen, må den ha vært halvt dekket dagen før. Halvparten av dammen var dekket av nøkkeroser den 29. dagen.

Hvis vi går enda lenger tilbake i tid: den 28. dagen var en fjerdedel dekket, den 27. dagen en åttedel, den 26. dagen en sekstendedel, den 25. dagen bare omtrent 3 % av overflaten. Den som gikk for å se på dammen den 25. dagen, ville sett nesten rent vann og trodd at det var god tid. Og bare fem dager senere er dammen helt gjengrodd.

Det er nettopp dette som er lumsk ved eksponentiell vekst. Det meste av tiden ser den uskyldig ut, og når den endelig er synlig for det blotte øye, er det bare noen få fordoblinger igjen.

Epidemi

En sykdom kan spre seg i samme tempo. La oss si at det i dag er 100 smittede i en by, og at antall tilfeller dobles hver tredje dag. På 30 dager dobles det dermed ti ganger:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

Fra hundre syke er det på en måned over hundre tusen. Derfor presser epidemiologer på for tiltak allerede når tallene fortsatt er små og folk synes at ingenting skjer. Vi er nemlig ved dammen den 25. dagen.

Hvor fort sykdommen sprer seg, beskrives av reproduksjonstallet R. Forenklet: hvor mange andre én syk person smitter i gjennomsnitt. Hvis R = 2, smitter hver person to andre, de to smitter fire, og hver «generasjon» syke er dobbelt så stor. Hvis én generasjon varer omtrent tre dager, er vi nøyaktig tilbake til eksempelet ovenfor. Hvis vi klarer å få R under én, for eksempel til 0,8, ganges antall syke i hver generasjon med et tall mindre enn én, og epidemien svekkes. Av 100 smittede blir det i den tiende generasjonen bare omtrent

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

smittede.

Forskjellen mellom R = 0,8 og R = 2 virker liten. Men etter ti generasjoner er den en avgrunn mellom elleve og hundre og to tusen syke.

Brett et papir førtito ganger

Ta et ark papir som er omtrent en tidel av en millimeter tykt. Brett det på midten, så har du to lag, altså to tideler av en millimeter. Brett det igjen, så har du fire lag. Hver bretting dobler tykkelsen. Hvor tykt ville papiret vært etter 42 brettinger?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440000000000\text{mm}=440000\text{km}$$

Månen er i gjennomsnitt omtrent 384 000 km fra jorden. Papiret brettet førtito ganger ville nådd helt dit og stukket et stykke forbi.

Du trenger ikke prøve det, for du kan uansett ikke brette et ark papir for hånd mer enn sju ganger. Etter sju brettinger har det 128 lag og er under 1,3 cm tykt, og samtidig blir det stadig mindre og stivere. Rekorden er tretten brettinger, og til det trengtes en omtrent 16 km lang stripe toalettpapir.

Hvorfor virker dette tallet absurd på oss? Intuisjonen klarer seg fint med addisjon. Når vi forestiller oss 42 steg, forestiller vi oss 42 like steg ved siden av hverandre. Her legger imidlertid hvert steg til like mye som hele papiret til da er tykt. Etter ti brettinger er papiret omtrent 10 cm tykt, etter tjue over 100 m, og etter tretti rekker det allerede 107 km høyt. Og de siste tolv brettingene, som tar papiret til Månen, er rett og slett tolv fordoblinger til.

Det varer ikke evig

Hvis nøkkerosene fortsatte å formere seg i samme tempo, ville de den 31. dagen dekket to dammer, og den 40. dagen tusen dammer. Slik fungerer det selvfølgelig ikke. En dam har bare en begrenset flate, bakterier har bare en begrenset mengde mat, og en sykdom har ingen å smitte når de fleste allerede har hatt den. I naturen varer eksponentiell vekst bare til plassen eller ressursene begynner å ta slutt.

Da bremser veksten opp, og verdien nærmer seg et tak som omgivelsene kan forsørge. Grafen til en slik vekst ser ut som en strukket bokstav S, derfor kalles den en S-kurve, faglig logistisk vekst.

I begynnelsen skiller de to kurvene seg nesten ikke fra hverandre. Det er nok ressurser, så ingenting bremser, og S-kurven vokser eksponentielt. Allerede før halvveis begynner den å bøye av fra eksponentialkurven, halvveis til taket K vokser den raskest, og så bøyer den av og nærmer seg bare langsomt taket. Problemet er at du ut fra den første delen av grafen ikke kan se om du ser på en eksponentialkurve eller en S-kurve. Det viser seg først senere.

Etter samme mønster kan verdien også avta. Det holder at verdien i hver periode ganges med et tall mindre enn én, som ved epidemien med R = 0,8. Et lærebokeksempel er radioaktivt henfall. I stedet for fordoblingstid snakker vi her om halveringstid, altså tiden det tar før halvparten av stoffet har falt fra hverandre. Radioaktivt cesium 137 har en halveringstid på omtrent 30 år. Etter 30 år er halvparten igjen, etter 60 år en fjerdedel, etter 90 år en åttendedel. Matematisk sett halveres det bare og halveres, og det synker aldri til null. Men stoffet består av atomer, og derfor har også det siste atomet i ett gram cesium falt fra hverandre etter omtrent to tusen år.

Se også

• Eksponentialfunksjon
• Logaritmefunksjoner
• Rentesrente