Exponentielles Wachstum
Eine alte Legende erzählt, der Erfinder des Schachspiels habe vom Herrscher eine bescheidene Belohnung verlangt: ein Reiskorn auf das erste Feld des Schachbretts, zwei auf das zweite, vier auf das dritte und auf jedes weitere Feld doppelt so viele wie auf das vorherige. Der Herrscher lachte angeblich darüber, wie wenig sich der Weise wünschte, und ließ einen Sack Reis bringen. Er hatte allerdings zu früh gelacht.
Auf dem ersten Feld liegt 1 Korn, also 20. Auf dem zweiten 21 = 2, auf dem dritten 22 = 4, auf dem vierten 23 = 8. Der Exponent ist um eins kleiner als die Nummer des Feldes, auf dem letzten, dem 64. Feld liegen also
Körner. Das sind über neun Trillionen. Doch das ist nur das letzte Feld, und uns interessiert das ganze Schachbrett. Wenn wir alle Felder zusammenzählen, erhalten wir
also genau 18.446.744.073.709.551.615 Körner.
Warum gerade 264 − 1? Überprüfe es an den ersten Feldern: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Die Summe ist jedes Mal um eins kleiner als die Zahl der Körner auf dem nächsten Feld.
Ein geschältes Reiskorn wiegt etwa 20 Milligramm, tausend Körner also ungefähr 20 Gramm. Wir berechnen, wie viel das ganze Schachbrett wiegen würde:
Das ganze Schachbrett würde etwa 369 Milliarden Tonnen Reis wiegen. Die ganze Welt baut dagegen pro Jahr etwa 540 Millionen Tonnen geschälten Reis an. Für wie viele Jahre Welternte würde das reichen? Der Quotient beider Zahlen:
Der Herrscher müsste dem Erfinder den gesamten Reis übergeben, den die Menschheit in mehr als sechshundert Jahren erntet. Am interessantesten ist, wie lange das Ganze harmlos aussieht: Die gesamte erste Hälfte des Schachbretts, 32 Felder, ergibt zusammen 232 − 1, also etwa 4,3 Milliarden Körner. Das sind rund 86 Tonnen, ein paar Lastwagen. Der Rest wird erst auf die zweite Hälfte des Schachbretts geschüttet.
Addition gegen Multiplikation
Wächst etwas so, dass in jedem Schritt dieselbe Zahl addiert wird, sprechen wir von linearem Wachstum. Wird dagegen in jedem Schritt mit derselben Zahl multipliziert, ist das exponentielles Wachstum. Auf dem Schachbrett war es die Multiplikation mit zwei.
Jonas' Eltern bieten ihm zwei Möglichkeiten an, sein Taschengeld zu erhöhen. Im Moment bekommt er 300 € im Monat, und sie erhöhen es ihm entweder jeden Monat um 100 € oder um 10 %. Hundert Euro oder nur zehn Prozent von dreihundert, also dreißig? Die Wahl scheint klar.
Im ersten Monat stimmt das auch. Bei der Addition bekommt Jonas 300 + 100 = 400 €, bei der Multiplikation 300 · 1,1 = 330 €. Nach einem halben Jahr hat die Addition 900 € und die Multiplikation etwa 531 €. Die zehn Prozent werden aber von einem immer größeren Betrag berechnet, sodass die Zuwächse wachsen, während die hundert Euro hundert Euro bleiben. Im 23. Monat überholt die Multiplikation die Addition und entfernt sich von da an immer weiter: Nach drei Jahren würde Jonas bei der Addition 3.900 € bekommen, bei der Multiplikation über 9.200 €. Und nach vier Jahren 5.100 € gegenüber etwa 29.100 € monatlich.
Die blaue Gerade liegt eine Weile vorn, doch die rote Kurve steigt immer steiler. Das gilt allgemein: Exponentielles Wachstum überholt früher oder später jedes lineare, die Frage ist nur, wann.
Das gesamte exponentielle Wachstum passt in eine einzige Formel
wobei N0 der Anfangswert ist, q die Zahl, mit der pro Zeitraum multipliziert wird, und t die Anzahl der vergangenen Zeiträume. Bei Jonas ist N0 = 300 und q = 1,1, denn 10 % hinzuzufügen bedeutet, mit 1,1 zu multiplizieren. Nach 36 Monaten erhalten wir
Auf dem Schachbrett ist N0 = 1 und q = 2. Die Variable t steht im Exponenten, es handelt sich also um eine Exponentialfunktion. Dort findest du auch Bakterien, die sich teilen.
Wie lange dauert es, bis es sich verdoppelt?
Beim exponentiellen Wachstum ist es praktisch zu fragen, wie lange es dauert, bis sich der Wert verdoppelt. Diese Verdopplungszeit ändert sich nicht, egal wann wir anfangen. Verdoppelt sich etwas in zehn Jahren, verdoppelt es sich in weiteren zehn Jahren erneut, und nach zwanzig Jahren ist es viermal so viel.
Zur Abschätzung dient eine einfache Merkhilfe, die 70er-Regel: Wächst etwas um p Prozent pro Zeitraum, verdoppelt es sich ungefähr nach
Zeiträumen. Steigen die Preise im Laden jedes Jahr um 7 %, verdoppeln sie sich in etwa 70:7 = 10 Jahren. Ein Brot, das heute 4 Euro kostet, würde in zehn Jahren fast acht kosten. Geld, das mit 3 % Zinsen pro Jahr angelegt ist, verdoppelt sich dagegen in etwa 70:3 ≈ 23 Jahren. Die Zinsen werden nämlich auch auf die früheren Zinsen berechnet, und so handelt es sich um Zinseszins, also wieder um exponentielles Wachstum.
Warum gerade siebzig? Die genaue Verdopplungszeit finden wir mithilfe des Logarithmus. Wir suchen das t, das die Exponentialgleichung
löst. Wir logarithmieren die Gleichung, wodurch der Exponent vor den Logarithmus rutscht:
Jetzt müssen wir nur noch dividieren:
Die Preise würden sich also in knapp zehneinviertel Jahren verdoppeln, die 70er-Regel trifft fast genau. Die Siebzig kommt daher, dass der Quotient zweier Logarithmen gleich bleibt, zu welcher Basis wir auch den Logarithmus nehmen. Mit dem natürlichen Logarithmus ln und einem allgemeinen Wachstum um p Prozent erhalten wir
denn für kleine Prozentsätze ist
Seerosen im Teich
Bevor du weiterliest, versuche, dieses Denkrätsel selbst zu knacken. In einem Teich wachsen Seerosen, und jeden Tag gibt es doppelt so viele wie am Tag davor. Nach 30 Tagen bedecken sie den ganzen Teich. An welchem Tag war der halbe Teich bedeckt?
Man neigt zur Antwort „am fünfzehnten Tag“, schließlich ist fünfzehn die Hälfte von dreißig. Aber die Zahl der Seerosen verdoppelt sich täglich. Wenn also am 30. Tag der ganze Teich bedeckt ist, muss am Tag davor die Hälfte bedeckt gewesen sein. Der halbe Teich war am 29. Tag von Seerosen bedeckt.
Gehen wir in der Zeit noch weiter zurück: Am 28. Tag war ein Viertel bedeckt, am 27. Tag ein Achtel, am 26. Tag ein Sechzehntel, am 25. Tag nur etwa 3 % der Wasserfläche. Wer am 25. Tag einen Blick auf den Teich geworfen hätte, hätte fast klares Wasser gesehen und gedacht, es sei noch genug Zeit. Und in nur fünf Tagen ist der Teich völlig zugewachsen.
Genau das ist am exponentiellen Wachstum so tückisch. Die meiste Zeit wirkt es harmlos, und wenn man es mit bloßem Auge sieht, bleiben nur noch wenige Verdopplungen bis zum Ende.
Epidemie
In demselben Tempo kann sich auch eine Krankheit ausbreiten. Nehmen wir an, in einer Stadt gibt es heute 100 Infizierte, und die Zahl der Fälle verdoppelt sich alle drei Tage. In 30 Tagen verdoppelt sie sich also zehnmal:
Aus hundert Kranken sind in einem Monat über hunderttausend geworden. Deshalb drängen Epidemiologen auf Maßnahmen, wenn die Zahlen noch klein sind und es den Leuten vorkommt, als geschehe nichts. Wir befinden uns nämlich am 25. Tag am Teich.
Wie schnell sich eine Krankheit ausbreitet, beschreibt die Reproduktionszahl R. Vereinfacht gesagt: wie viele weitere Menschen ein Kranker im Durchschnitt ansteckt. Ist R = 2, steckt jeder zwei weitere an, diese zwei stecken vier an, und jede „Generation“ von Kranken ist doppelt so zahlreich. Dauert eine Generation etwa drei Tage, sind wir genau wieder beim Beispiel von oben. Gelingt es, R unter eins zu drücken, zum Beispiel auf 0,8, wird die Zahl der Kranken in jeder Generation mit einer Zahl kleiner als eins multipliziert, und die Epidemie klingt ab. Von 100 Infizierten stecken sich in der zehnten Generation nur noch etwa
Menschen an.
Der Unterschied zwischen R = 0,8 und R = 2 scheint klein. Nach zehn Generationen ist daraus aber eine Kluft zwischen elf und hundertzweitausend Kranken geworden.
Falte das Papier zweiundvierzigmal
Nimm ein Blatt Papier, etwa ein Zehntel Millimeter dick. Falte es in der Mitte, und du hast zwei Lagen, also zwei Zehntel Millimeter. Falte es noch einmal, und du hast vier Lagen. Jede Faltung verdoppelt die Dicke. Wie dick wäre das Papier nach 42 Faltungen?
Der Mond ist im Durchschnitt etwa 384.000 km von der Erde entfernt. Ein zweiundvierzigmal gefaltetes Papier würde ihn erreichen und noch ein Stück darüber hinausragen.
Ausprobieren musst du das nicht, mehr als siebenmal kannst du ein Blatt Papier mit den Händen ohnehin nicht falten. Nach sieben Faltungen hat es 128 Lagen und ist knapp 1,3 cm dick, dazu wird es immer kleiner und steifer. Der Rekord liegt bei dreizehn Faltungen, und dafür wurde ein etwa 16 km langer Streifen Toilettenpapier gebraucht.
Warum kommt uns diese Zahl absurd vor? Die Intuition kommt mit der Addition zurecht. Wenn wir uns 42 Schritte vorstellen, stellen wir uns 42 gleiche Schritte nebeneinander vor. Hier aber fügt jeder Schritt so viel hinzu, wie das Papier bis dahin dick ist. Nach zehn Faltungen ist das Papier etwa 10 cm dick, nach zwanzig über 100 m, und nach dreißig ragt es schon 107 km hoch. Und die letzten zwölf Faltungen, mit denen das Papier den Mond erreicht, sind einfach zwölf weitere Verdopplungen.
Ewig geht das nicht so weiter
Würden sich die Seerosen in demselben Tempo weiter vermehren, würden sie am 31. Tag zwei Teiche bedecken, am 40. Tag tausend Teiche. So funktioniert es natürlich nicht. Ein Teich hat nur eine begrenzte Fläche, Bakterien haben nur eine begrenzte Menge an Nahrung, und eine Krankheit findet niemanden mehr zum Anstecken, wenn die meisten sie schon hinter sich haben. In der Natur dauert exponentielles Wachstum nur so lange, bis der Platz oder die Ressourcen knapp werden.
Dann verlangsamt sich das Wachstum, und der Wert nähert sich einer Obergrenze, die die Umgebung tragen kann. Der Graph eines solchen Wachstums sieht aus wie ein in die Länge gezogenes S, deshalb spricht man von einer S-Kurve, fachsprachlich von logistischem Wachstum.
Anfangs unterscheiden sich beide Kurven kaum. Ressourcen sind genug da, nichts bremst, und die S-Kurve wächst exponentiell. Schon vor der Hälfte des Weges beginnt sie von der Exponentialkurve abzuweichen, auf halbem Weg zur Grenze K wächst sie am schnellsten, dann biegt sie ab und nähert sich der Grenze nur noch langsam. Das Problem ist, dass du am Anfang des Graphen nicht erkennen kannst, ob du eine Exponentialkurve oder eine S-Kurve vor dir hast. Das zeigt sich erst später.
Nach demselben Muster kann ein Wert auch sinken. Es genügt, dass der Wert in jedem Zeitraum mit einer Zahl kleiner als eins multipliziert wird, wie bei der Epidemie mit R = 0,8. Ein Lehrbuchbeispiel ist der radioaktive Zerfall. Statt von der Verdopplungszeit spricht man hier von der Halbwertszeit, also der Zeit, in der die Hälfte des Stoffes zerfällt. Radioaktives Cäsium 137 hat eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren. Nach 30 Jahren bleibt davon die Hälfte übrig, nach 60 Jahren ein Viertel, nach 90 Jahren ein Achtel. Mathematisch gesehen wird es nur immer wieder halbiert und sinkt nie auf null. Der Stoff besteht aber aus Atomen, und so zerfällt von einem Gramm Cäsium nach etwa zweitausend Jahren auch das letzte.
