Eksponentiel vækst

En gammel legende fortæller, at skakspillets opfinder bad herskeren om en beskeden belønning: ét riskorn på skakbrættets første felt, to på det andet, fire på det tredje og på hvert følgende felt dobbelt så mange som på det foregående. Herskeren skulle efter sigende have grinet af, hvor lidt vismanden ønskede sig, og befalet, at man skulle hente en sæk ris. Men han grinede for tidligt.

$I den første række af skakbrættet er der 1, 2, 4, … op til 128 riskorn, på det sidste felt 2^{63}$

På det første felt er der 1 korn, altså 2⁰. På det andet 2¹ = 2, på det tredje 2² = 4, på det fjerde 2³ = 8. Eksponenten er én mindre end feltets nummer, så på det sidste, 64. felt ligger

$2^{63} = 9.223 .372 .036 .854 .775 .808$

korn. Det er over ni trillioner. Men det er kun det sidste felt, og vi interesserer os for hele skakbrættet. Hvis vi lægger alle felterne sammen, får vi

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{63} = 2^{64} - 1,$

altså præcis 18.446.744.073.709.551.615 korn.

Hvorfor lige 2⁶⁴ − 1? Tjek det på de første felter: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Summen er hver gang én mindre end antallet af korn på det næste felt.

Et riskorn af afskallede ris vejer cirka 20 milligram, tusind korn vejer altså omkring 20 gram. Vi regner ud, hvor meget hele skakbrættet ville veje:

$(2^{64} - 1) \cdot 20 mg \approx 369.000 .000 .000 t$

Hele skakbrættet ville veje omkring 369 milliarder tons ris. Hele verden dyrker derimod på et år cirka 540 millioner tons afskallede ris. Hvor mange års verdenshøst ville det række til? Kvotienten af de to tal:

$\frac{369.000 .000 .000}{540.000 .000} \approx 683$

Herskeren ville være nødt til at aflevere al den ris, som menneskeheden høster på mere end seks hundrede år. Det mest interessante er, hvor længe det ser uskyldigt ud: hele den første halvdel af skakbrættet, 32 felter, giver tilsammen 2³² − 1, altså omkring 4,3 milliarder korn. Det er cirka 86 tons, et par lastbiler. Resten bliver først hældt ud på den anden halvdel af skakbrættet.

Addition mod multiplikation

Hvis noget vokser på den måde, at der i hvert trin lægges det samme tal til, taler vi om lineær vækst. Hvis der omvendt i hvert trin ganges med det samme tal, er det eksponentiel vækst. På skakbrættet var det multiplikation med to.

Forældrene tilbyder Oscar to måder at forhøje hans lommepenge på. Nu får han 150 kr. om måneden, og de vil enten forhøje dem med 50 kr. hver måned, eller med 10 %. Halvtreds kroner, eller kun ti procent af halvandet hundrede, altså femten? Valget virker klart.

I den første måned passer det faktisk. Ved addition får Oscar 150 + 50 = 200 kr., ved multiplikation 150 · 1,1 = 165 kr. Efter et halvt år har additionen 450 kr. og multiplikationen cirka 266 kr. Ti procent regnes dog af et stadig større beløb, så tilvæksterne vokser, mens de halvtreds kroner forbliver halvtreds kroner. I den 23. måned overhaler multiplikationen additionen, og fra da af fjerner den sig bare fra den: efter tre år ville Oscar ved addition få 1950 kr., ved multiplikation over 4600 kr. Og efter fire år 2550 kr. mod cirka 14.550 kr. om måneden.

Lommepenge efter måneder t: blå +50 kr. om måneden, rød +10 % om måneden

Den blå linje fører et stykke tid, men den røde kurve stiger stadig stejlere. Det gælder generelt: eksponentiel vækst overhaler før eller siden enhver lineær vækst, spørgsmålet er bare hvornår.

Hele den eksponentielle vækst kan samles i én formel

$N = N_{0} \cdot q^{t},$

hvor N₀ er startværdien, q er det tal, der ganges med pr. periode, og t er antallet af forløbne perioder. For Oscar er N₀ = 150 og q = 1,1, fordi at lægge 10 % til betyder at gange med tallet 1,1. Efter 36 måneder får vi

$N = 150 \cdot 1, 1^{36} \approx 4637 kr.$

På skakbrættet er N₀ = 1 og q = 2. Variablen t står i eksponenten, så der er tale om en eksponentialfunktion. Der finder du også bakterier, som deler sig i to.

Hvor lang tid tager det at fordoble?

Ved eksponentiel vækst er det praktisk at spørge, hvor lang tid det tager, før værdien fordobles. Denne fordoblingstid ændrer sig ikke, uanset hvornår vi begynder. Hvis noget fordobles på ti år, fordobles det igen på yderligere ti år, og på tyve år er det fire gange så meget.

Til et overslag kan man bruge en enkel huskeregel, 70-reglen: hvis noget vokser med p procent pr. periode, fordobles det omtrent på

$\frac{70}{p}$

perioder. Hvis priserne i butikken stiger med 7 % hvert år, fordobles de på cirka 70:7 = 10 år. Et rundstykke, der i dag koster 5 kr., ville om ti år koste næsten 10 kr. Penge, der er sat ind med en rente på 3 % om året, fordobles derimod på cirka 70:3 ≈ 23 år. Renterne regnes nemlig også af de tidligere renter, og derfor er der tale om renters rente, altså igen eksponentiel vækst.

Hvorfor lige halvfjerds? Den præcise fordoblingstid finder vi ved hjælp af logaritmen. Vi leder efter t, som løser eksponentialligningen

$1, 07^{t} = 2.$

Vi tager logaritmen på begge sider af ligningen, og så falder eksponenten ned foran logaritmen:

$t \cdot \log 1, 07 = \log 2$

Nu skal vi bare dividere:

$t = \frac{\log 2}{\log 1, 07} \approx \frac{0,301}{0,029 4} \approx 10, 2$

Priserne ville altså fordobles på knap ti og et kvart år, 70-reglen ramte næsten præcist. Halvfjerdsen kommer af, at kvotienten af to logaritmer er den samme, uanset hvilket grundtal vi tager logaritmen med. Med den naturlige logaritme ln og generel vækst på p procent får vi

$t = \frac{\ln 2}{\ln (1 + \frac{p}{100})} \approx \frac{0,693}{\frac{p}{100}} = \frac{69, 3}{p},$

fordi $\ln (1 + \frac{p}{100})$ for små procenter er omtrent $\frac{p}{100}$ . I stedet for 69,3 bruger man 70, fordi det er lettere at dividere med. Reglen fungerer derfor godt for enkelte procent, mens den ved flere tiere af procent bliver lidt upræcis.

Åkander på en dam

Før du læser videre, så prøv selv at knække denne hjernevrider. På en dam vokser åkander, og hver dag er der dobbelt så mange som dagen før. På 30 dage dækker de hele dammen. Hvilken dag var halvdelen af dammen dækket?

Svaret femtende dag ligger lige for, femten er jo halvdelen af tredive. Men antallet af åkander fordobles hver dag, så når hele dammen er dækket på dag 30, må den have været halvt dækket dagen før. Halvdelen af dammen var dækket af åkander på dag 29.

Åkander på dammen på dag 26 til 30

Hvis vi går endnu længere tilbage i tiden: på dag 28 var en fjerdedel dækket, på dag 27 en ottendedel, på dag 26 en sekstendedel, på dag 25 kun omkring 3 % af overfladen. Hvis man gik hen og kiggede på dammen på dag 25, ville man se næsten rent vand og konkludere, at der er god tid. Og på bare fem dage er dammen helt tilgroet.

Det er netop det lumske ved eksponentiel vækst. Det meste af tiden ser den uskyldig ud, og når den først kan ses med det blotte øje, er der kun nogle få fordoblinger tilbage.

Epidemi

På samme måde kan en sygdom brede sig. Lad os sige, at der i dag er 100 smittede i en by, og antallet af tilfælde fordobles hver tredje dag. På 30 dage fordobles det altså ti gange:

$100 \cdot 2^{10} = 100 \cdot 1024 = 102.400$

Fra hundrede syge er der på en måned over hundrede tusind. Derfor presser epidemiologerne på for tiltag på et tidspunkt, hvor tallene stadig er små, og folk synes, at der ikke sker noget. Vi er nemlig på dammen på dag 25.

Hvor hurtigt sygdommen breder sig, beskrives af reproduktionstallet R. Forenklet: hvor mange andre mennesker en syg i gennemsnit smitter. Hvis R = 2, smitter hver to andre, de to smitter fire, og hver »generation« af syge er dobbelt så stor. Hvis en generation varer cirka tre dage, vender vi præcis tilbage til eksemplet ovenfor. Hvis det lykkes at trække R ned under ét, for eksempel til 0,8, ganges antallet af syge i hver generation med et tal mindre end ét, og epidemien aftager. Af 100 smittede bliver der i den tiende generation kun smittet cirka

$100 \cdot 0, 8^{10} \approx 11$

mennesker.

Forskellen mellem R = 0,8 og R = 2 virker lille. Efter ti generationer er der dog et svælg mellem elleve og hundrede og to tusind syge.

Fold et ark papir toogfyrre gange

Tag et ark papir, cirka en tiendedel millimeter tykt. Fold det på midten, og du har to lag, altså to tiendedele millimeter. Fold det igen, og du har fire lag. Hver foldning fordobler tykkelsen. Hvor tykt ville papiret være efter 42 foldninger?

$0, 1 mm \cdot 2^{42} \approx 440.000 .000 .000 mm = 440.000 km$

Månen er i gennemsnit cirka 384.000 km fra Jorden. Et papir foldet toogfyrre gange ville nå helt derhen og stikke et stykke ud over.

Du behøver ikke prøve det, du kan alligevel ikke folde et ark papir med hænderne mere end syv gange. Efter syv foldninger har det 128 lag og er knap 1,3 cm tykt, og desuden bliver det mindre og mere stift. Rekorden er tretten foldninger, og til det skulle der bruges en cirka 16 km lang strimmel toiletpapir.

Hvorfor virker dette tal absurd for os? Intuitionen kan klare addition. Når vi forestiller os 42 trin, forestiller vi os 42 ens trin ved siden af hinanden. Men her lægger hvert trin lige så meget til, som hele papiret hidtil er tykt. Efter ti foldninger er papiret cirka 10 cm tykt, efter tyve over 100 m og efter tredive når det allerede 107 km op. Og de sidste tolv foldninger, som bringer papiret til Månen, er bare yderligere tolv fordoblinger.

Det varer ikke evigt

Hvis åkanderne blev ved med at formere sig i samme tempo, ville de på dag 31 dække to damme, på dag 40 tusind damme. Sådan fungerer det selvfølgelig ikke. Dammen har kun et begrænset areal, bakterier har en begrænset mængde føde, og sygdommen har ingen at smitte, når de fleste allerede har haft den. I naturen varer eksponentiel vækst kun, indtil pladsen eller ressourcerne begynder at slippe op.

Så aftager væksten, og værdien nærmer sig et loft, som miljøet kan opretholde. Grafen for sådan en vækst ligner et langstrakt bogstav S, derfor kaldes den en S-kurve, fagligt logistisk vækst.

Eksponentiel vækst (rød) og logistisk vækst (grøn) med loftet K

I begyndelsen er de to kurver næsten ens. Der er ressourcer nok, så intet bremser, og S-kurven vokser eksponentielt. Allerede før halvvejs begynder den at afvige fra eksponentialkurven, halvvejs op mod loftet K vokser den hurtigst, og derefter bøjer den af og nærmer sig kun langsomt loftet. Problemet er, at du ud fra grafens første del ikke kan se, om du kigger på en eksponentialkurve eller en S-kurve. Det viser sig først senere.

Efter samme mønster kan en værdi også falde. Det er nok, at værdien i hver periode ganges med et tal mindre end ét, som ved epidemien med R = 0,8. Et lærebogseksempel er radioaktivt henfald. I stedet for fordoblingstid taler man her om halveringstid, altså den tid, det tager, før halvdelen af stoffet er henfaldet. Radioaktivt cæsium-137 har en halveringstid på cirka 30 år. Efter 30 år er der halvdelen tilbage, efter 60 år en fjerdedel, efter 90 år en ottendedel. Matematisk set halveres det bare og halveres, og det falder aldrig til nul. Stoffet består dog af atomer, og derfor vil også det sidste af dem i et gram cæsium være henfaldet efter cirka to tusind år.

Se også

« Forrige: Eksponentialfunktion

Næste: Trigonometriske funktioner »