Crecimiento exponencial
Una vieja leyenda cuenta que el inventor del ajedrez pidió al rey una recompensa modesta: un grano de arroz en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera y en cada casilla siguiente el doble que en la anterior. El rey se rio de lo poco que pedía el sabio y mandó traer un saco de arroz. Pero se rio demasiado pronto.
En la primera casilla hay 1 grano, es decir, 20. En la segunda, 21 = 2; en la tercera, 22 = 4; en la cuarta, 23 = 8. El exponente es una unidad menor que el número de la casilla, así que en la última, la casilla 64, hay
granos. Eso son más de nueve trillones. Pero es solo la última casilla, y a nosotros nos interesa el tablero entero. Si sumamos todas las casillas, obtenemos
es decir, exactamente 18.446.744.073.709.551.615 granos.
¿Por qué justo 264 − 1? Compruébalo en las primeras casillas: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. La suma es siempre una unidad menor que el número de granos de la casilla siguiente.
Un grano de arroz sin cáscara pesa aproximadamente 20 miligramos, así que mil granos pesan unos 20 gramos. Vamos a calcular cuánto pesaría el tablero entero:
El tablero entero pesaría unos 369.000 millones de toneladas de arroz. En cambio, el mundo entero cultiva al año unos 540 millones de toneladas de arroz sin cáscara. ¿Para cuántos años de cosecha mundial alcanzaría? El cociente de ambos números:
El rey tendría que entregar al inventor todo el arroz que la humanidad cosecha en más de seiscientos años. Lo más curioso es cuánto tiempo parece inofensivo: toda la primera mitad del tablero, 32 casillas, suma 232 − 1, es decir, unos 4300 millones de granos. Son unas 86 toneladas, un par de camiones. El resto se echa en la segunda mitad del tablero.
Sumar frente a multiplicar
Si algo crece de modo que en cada paso se suma el mismo número, hablamos de crecimiento lineal. Si, por el contrario, en cada paso se multiplica por el mismo número, es crecimiento exponencial. En el tablero se multiplicaba por dos.
Los padres de Hugo le ofrecen dos opciones para subirle la paga. Ahora recibe 300 € al mes y, o bien se la suben cada mes 100 €, o bien un 10 %. ¿Cien euros, o solo el diez por ciento de trescientos, es decir, treinta? La elección parece clara.
En el primer mes, de hecho, es así. Sumando, Hugo recibe 300 + 100 = 400 €; multiplicando, 300 · 1,1 = 330 €. A los seis meses, con la suma tiene 900 € y con la multiplicación unos 531 €. Pero el diez por ciento se calcula sobre una cantidad cada vez mayor, así que los aumentos crecen, mientras que los cien euros siguen siendo cien euros. En el mes 23 la multiplicación adelanta a la suma y a partir de ese momento solo se aleja de ella: al cabo de tres años, Hugo recibiría 3900 € con la suma y más de 9200 € con la multiplicación. Y a los cuatro años, 5100 € frente a unos 29.100 € al mes.
La recta azul va por delante durante un tiempo, pero la curva roja sube cada vez con más fuerza. Esto es general: antes o después, el crecimiento exponencial supera a cualquier crecimiento lineal; la única pregunta es cuándo.
Todo el crecimiento exponencial cabe en una sola fórmula:
donde N0 es el valor inicial, q es el número por el que se multiplica en cada periodo y t es el número de periodos transcurridos. En el caso de Hugo, N0 = 300 y q = 1,1, porque sumar un 10 % equivale a multiplicar por 1,1. Después de 36 meses obtenemos
En el tablero de ajedrez, N0 = 1 y q = 2. La variable t está en el exponente, así que se trata de una función exponencial. Allí encontrarás también las bacterias que se dividen en dos.
¿Cuánto tarda en duplicarse?
En el crecimiento exponencial resulta útil preguntarse cuánto tarda el valor en duplicarse. Este tiempo de duplicación no cambia, empecemos cuando empecemos. Si algo se duplica en diez años, en otros diez años se duplica de nuevo y a los veinte años es cuatro veces más.
Para hacer una estimación sirve una regla sencilla, la regla del 70: si algo crece un p por ciento por periodo, se duplica aproximadamente en
periodos. Si los precios de las tiendas suben cada año un 7 %, se duplican en unos 70:7 = 10 años. Una hogaza de pan que hoy cuesta 4 euros costaría dentro de diez años casi 8. El dinero depositado con un interés del 3 % anual, en cambio, se duplica en unos 70:3 ≈ 23 años. Los intereses se calculan también sobre los anteriores, y por eso se trata de interés compuesto, es decir, otra vez de crecimiento exponencial.
¿Por qué justo setenta? El tiempo de duplicación exacto lo averiguamos con ayuda del logaritmo. Buscamos el t que resuelve la ecuación exponencial
Tomamos logaritmos en la ecuación, con lo que el exponente pasa delante del logaritmo:
Ahora basta con dividir:
Así, los precios se duplicarían en algo menos de diez años y un trimestre, y la regla del 70 ha acertado casi con exactitud. El setenta sale de que el cociente de dos logaritmos es el mismo, tomemos el logaritmo en la base que tomemos. Con el logaritmo neperiano ln y un crecimiento general del p por ciento obtenemos
porque para porcentajes pequeños
Los nenúfares del estanque
Antes de seguir leyendo, intenta resolver tú mismo este acertijo. En un estanque crecen nenúfares y cada día hay el doble que el día anterior. En 30 días cubren todo el estanque. ¿Qué día estaba cubierta la mitad del estanque?
La respuesta que se nos ocurre es el día quince, porque quince es la mitad de treinta. Pero el número de nenúfares se duplica cada día, así que si el día 30 el estanque está cubierto por completo, el día anterior tenía que estar cubierto a medias. La mitad del estanque estaba cubierta de nenúfares el día 29.
Si seguimos retrocediendo en el tiempo: el día 28 estaba cubierta una cuarta parte, el día 27 una octava parte, el día 26 una dieciseisava parte y el día 25 solo un 3 % de la superficie. Quien se asomara al estanque el día 25 vería casi solo agua limpia y pensaría que hay tiempo de sobra. Y en solo cinco días el estanque queda totalmente cubierto.
Eso es precisamente lo traicionero del crecimiento exponencial. Durante la mayor parte del tiempo parece inocente, y cuando por fin se ve a simple vista, solo quedan unas pocas duplicaciones para el final.
Una epidemia
Una enfermedad puede propagarse al mismo ritmo. Supongamos que hoy hay 100 contagiados en una ciudad y el número de casos se duplica cada tres días. En 30 días se duplica diez veces:
De cien enfermos pasamos en un mes a más de cien mil. Por eso los epidemiólogos insisten en tomar medidas cuando las cifras todavía son pequeñas y a la gente le parece que no pasa nada. Estamos en el día 25 del estanque.
La rapidez con que se propaga una enfermedad la describe el número reproductivo R. Dicho de forma sencilla: a cuántas personas contagia, de media, un enfermo. Si R = 2, cada uno contagia a otros dos, esos dos contagian a cuatro y cada «generación» de enfermos es el doble de numerosa. Si una generación dura aproximadamente tres días, volvemos exactamente al ejemplo anterior. Cuando se consigue bajar R por debajo de uno, por ejemplo a 0,8, el número de enfermos en cada generación se multiplica por un número menor que uno y la epidemia se debilita. De 100 contagiados, en la décima generación se contagian ya solo unas
personas.
La diferencia entre R = 0,8 y R = 2 parece pequeña. Pero después de diez generaciones se convierte en un abismo entre once y ciento dos mil enfermos.
Dobla el papel cuarenta y dos veces
Toma una hoja de papel de aproximadamente una décima de milímetro de grosor. Dóblala por la mitad y tendrás dos capas, es decir, dos décimas de milímetro. Dóblala otra vez y tendrás cuatro capas. Cada doblez duplica el grosor. ¿Qué grosor tendría el papel después de 42 dobleces?
La Luna está a una distancia media de la Tierra de unos 384.000 km. Un papel doblado cuarenta y dos veces llegaría hasta ella y todavía sobresaldría un buen trozo.
No hace falta que lo pruebes: con las manos no podrás doblar una hoja de papel más de siete veces. Tras siete dobleces tiene 128 capas y un grosor de poco menos de 1,3 cm, y además es cada vez más pequeña y más rígida. El récord es de trece dobleces y para conseguirlo hizo falta una tira de papel higiénico de unos 16 km de largo.
¿Por qué nos parece absurdo este número? La intuición se las arregla bien con la suma. Cuando nos imaginamos 42 pasos, nos imaginamos 42 pasos iguales uno al lado del otro. Pero aquí cada paso añade tanto como el grosor total que tiene ya el papel. Después de diez dobleces el papel tiene un grosor de unos 10 cm, después de veinte, más de 100 m, y después de treinta ya alcanza los 107 km de altura. Y los doce últimos dobleces, con los que el papel llega a la Luna, son simplemente doce duplicaciones más.
No puede durar para siempre
Si los nenúfares siguieran multiplicándose al mismo ritmo, el día 31 cubrirían dos estanques y el día 40, mil estanques. Por supuesto, no funciona así. El estanque tiene una superficie limitada, las bacterias disponen de una cantidad limitada de alimento y la enfermedad no tiene a quién contagiar cuando la mayoría de la gente ya la ha pasado. En la naturaleza, el crecimiento exponencial dura solo hasta que empieza a faltar espacio o recursos.
Entonces el crecimiento se frena y el valor se acerca a un techo que el entorno puede sostener. La gráfica de un crecimiento así parece una letra S alargada, por eso se llama curva en S, o, en términos técnicos, crecimiento logístico.
Al principio las dos curvas apenas se distinguen. Hay recursos de sobra, nada frena el crecimiento y la curva en S crece de forma exponencial. Ya antes de llegar a la mitad del camino empieza a separarse de la exponencial; a mitad de camino hacia el techo K crece más deprisa, y luego se curva y solo se acerca lentamente al techo. El problema es que, por la parte inicial de la gráfica, no se puede saber si estamos ante una exponencial o ante una curva en S. Eso se verá más tarde.
Según el mismo patrón, un valor también puede disminuir. Basta con que en cada periodo se multiplique por un número menor que uno, como en la epidemia con R = 0,8. Un ejemplo de manual es la desintegración radiactiva. En lugar del tiempo de duplicación se habla aquí del periodo de semidesintegración, es decir, del tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la sustancia. El cesio 137 radiactivo tiene un periodo de semidesintegración de unos 30 años. Pasados 30 años queda la mitad, a los 60 años una cuarta parte y a los 90 años una octava parte. Matemáticamente, solo se va dividiendo por la mitad una y otra vez y nunca llega a cero. Pero la sustancia está formada por átomos, y así, de un gramo de cesio, al cabo de unos dos mil años se desintegra incluso el último de ellos.
