Croissance exponentielle
Une vieille légende raconte que l’inventeur du jeu d’échecs demanda au roi une modeste récompense : un grain de riz sur la première case de l’échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et sur chaque case suivante deux fois plus que sur la précédente. Le roi se mit, dit-on, à rire de la modestie du sage et ordonna d’apporter un sac de riz. Il riait trop tôt.
Sur la première case il y a 1 grain, soit 20. Sur la deuxième 21 = 2, sur la troisième 22 = 4, sur la quatrième 23 = 8. L’exposant est inférieur d’une unité au numéro de la case, donc sur la dernière, la 64ᵉ case, se trouve
grains. C’est plus de neuf trillions. Mais ce n’est que la dernière case, et ce qui nous intéresse, c’est tout l’échiquier. Si l’on additionne toutes les cases, on obtient
soit exactement 18 446 744 073 709 551 615 grains.
Pourquoi précisément 264 − 1 ? Vérifie-le sur les premières cases : 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. La somme est à chaque fois inférieure d’une unité au nombre de grains de la case suivante.
Un grain de riz décortiqué pèse environ 20 milligrammes, donc mille grains pèsent environ 20 grammes. Calculons combien pèserait l’échiquier entier :
L’échiquier entier pèserait donc environ 369 milliards de tonnes de riz. Or le monde entier récolte chaque année environ 540 millions de tonnes de riz décortiqué. Combien d’années de récolte mondiale cela représenterait-il ? Le quotient des deux nombres :
Le roi devrait donc remettre à l’inventeur tout le riz que l’humanité récolte pendant plus de six cents ans. Le plus surprenant, c’est de voir à quel point cela paraît anodin au début : toute la première moitié de l’échiquier, soit 32 cases, donne au total 232 − 1, soit environ 4,3 milliards de grains. Cela fait environ 86 tonnes, quelques camions. Le reste n’est versé que sur la deuxième moitié de l’échiquier.
Addition contre multiplication
Lorsqu’une grandeur croît en ajoutant à chaque étape le même nombre, on parle de croissance linéaire. Si en revanche on la multiplie à chaque étape par le même nombre, il s’agit d’une croissance exponentielle. Sur l’échiquier, il s’agissait de multiplier par deux.
Ses parents proposent à Lucas deux possibilités pour augmenter son argent de poche. Il reçoit actuellement 12 € par mois, et ils peuvent soit ajouter 4 € chaque mois, soit augmenter son argent de 10 %. Quatre euros, ou seulement 10 % de douze, soit 1,20 € ? Le choix semble évident.
Au premier mois, cela se vérifie : par addition, Lucas reçoit 12 + 4 = 16 €, par multiplication 12 · 1,1 = 13,2 €. Au bout d’un semestre, l’addition donne 36 €, la multiplication environ 21,26 €. Mais le pourcentage se calcule sur une somme de plus en plus grande, donc les accroissements grandissent, alors que les quatre euros restent quatre euros. Au 23ᵉ mois, la multiplication dépasse l’addition, et à partir de là elle ne fait que s’en éloigner : au bout de trois ans, Lucas recevrait par addition 156 € par mois, et par multiplication plus de 370 €. Et au bout de quatre ans, 204 € contre environ 1 164 € par mois.
La droite bleue prend la tête pendant un moment, mais la courbe rouge monte de plus en plus vite. Cela vaut en général : une croissance exponentielle finit toujours par dépasser n’importe quelle croissance linéaire, la seule question est de savoir quand.
Toute la croissance exponentielle tient dans une seule formule
où N0 est la valeur initiale, q est le nombre par lequel on multiplie à chaque période, et t est le nombre de périodes écoulées. Pour Lucas, on a N0 = 12 et q = 1,1, car ajouter 10 % revient à multiplier par 1,1. Au bout de 36 mois on obtient
Pour l’échiquier, on a N0 = 1 et q = 2. La variable t se trouve dans l’exposant, il s’agit donc d’une fonction exponentielle. On y trouve aussi les bactéries qui se divisent en deux.
Au bout de combien de temps cela double-t-il ?
Pour une croissance exponentielle, il est pratique de se demander au bout de combien de temps la valeur double. Ce temps de doublement ne change pas, quel que soit le moment où l’on commence. Si quelque chose double en dix ans, il doublera à nouveau dix ans plus tard, et au bout de vingt ans il sera quatre fois plus grand.
Pour estimer ce temps, on peut utiliser la règle de 70 : si quelque chose augmente de p pour cent par période, il double à peu près au bout de
périodes. Si les prix dans un magasin augmentent chaque année de 7 %, ils doublent à peu près en 70:7 = 10 ans. Une baguette qui coûte aujourd’hui 1 € en coûterait presque 2 € dans dix ans. De l’argent placé à 3 % d’intérêt par an double en environ 70:3 ≈ 23 ans. En effet, les intérêts sont aussi calculés sur les intérêts précédents : il s’agit donc d’un intérêt composé, c’est-à-dire encore d’une croissance exponentielle.
Pourquoi justement soixante-dix ? On trouve le temps de doublement exact à l’aide du logarithme. On cherche le t qui résout l’équation exponentielle
On prend le logarithme de l’équation, ce qui fait passer l’exposant devant le logarithme :
Il suffit alors de diviser :
Les prix doubleraient donc en un peu moins de dix ans et un quart, et la règle de 70 tombe presque juste. Le nombre 70 vient de ce que le quotient de deux logarithmes est le même quelle que soit la base du logarithme. Avec le logarithme népérien ln et une croissance générale de p pour cent, on obtient
car pour de petits pourcentages
Les nénuphars de l’étang
Avant de lire la suite, essaie de résoudre ce casse-tête toi-même. Sur un étang poussent des nénuphars, et chaque jour leur nombre est deux fois plus grand que la veille. Au bout de 30 jours, ils recouvrent tout l’étang. Quel jour l’étang était-il recouvert à moitié ?
On serait tenté de répondre le quinzième jour, car quinze est la moitié de trente. Mais le nombre de nénuphars double chaque jour : si le 30ᵉ jour l’étang est entièrement recouvert, la veille il devait être recouvert à moitié. La moitié de l’étang était donc couverte par les nénuphars le 29ᵉ jour.
Si l’on remonte encore dans le temps : le 28ᵉ jour, l’étang était couvert au quart, le 27ᵉ jour au huitième, le 26ᵉ jour au seizième, et le 25ᵉ jour à peine à environ 3 % de la surface. Quelqu’un qui irait voir l’étang le 25ᵉ jour verrait une eau presque claire et penserait qu’il reste beaucoup de temps. Et en seulement cinq jours, l’étang est entièrement envahi.
C’est précisément là le piège de la croissance exponentielle. Pendant la plus grande partie du temps, elle paraît anodine, et quand elle devient visible à l’œil nu, il ne reste plus que quelques doublements avant la fin.
Épidémie
Une maladie peut se propager au même rythme. Disons qu’aujourd’hui la ville compte 100 personnes malades et que leur nombre double tous les trois jours. En 30 jours, il double donc dix fois :
Cent malades deviennent en un mois plus de cent mille. C’est pourquoi les épidémiologistes insistent pour prendre des mesures quand les chiffres sont encore petits et que les gens ont l’impression qu’il ne se passe rien. Nous sommes en effet encore au 25ᵉ jour de l’étang.
Pour décrire la vitesse de propagation, on utilise le nombre de reproduction R. En simplifiant : c’est le nombre moyen de personnes qu’un malade contamine. Si R = 2, chaque personne en contamine deux autres, ces deux-là en contaminent quatre, et chaque « génération » de malades est deux fois plus nombreuse. Si une génération dure à peu près trois jours, on retrouve exactement l’exemple précédent. Si l’on parvient à faire descendre R sous un, par exemple à 0,8, le nombre de malades de chaque génération est multiplié par un nombre inférieur à un, et l’épidémie s’affaiblit. Sur 100 malades au départ, la dixième génération ne compte plus qu’environ
personnes contaminées.
La différence entre R = 0,8 et R = 2 paraît faible. Après dix générations, elle représente pourtant un gouffre entre onze et cent deux mille malades.
Plie la feuille quarante-deux fois
Prends une feuille de papier, épaisse d’environ un dixième de millimètre. Plie-la en deux et tu as deux couches, soit deux dixièmes de millimètre. Plie-la encore et tu as quatre couches. Chaque pliage double l’épaisseur. Quelle serait l’épaisseur de la feuille après 42 pliages ?
La Lune se trouve en moyenne à environ 384 000 km de la Terre. Une feuille pliée quarante-deux fois atteindrait donc la Lune et dépasserait même un peu.
Tu n’as pas besoin de l’essayer : de toute façon, on ne peut pas plier une feuille plus de sept fois à la main. Après sept pliages, elle a 128 couches et son épaisseur est d’un peu moins de 1,3 cm ; elle devient aussi de plus en plus petite et rigide. Le record est de treize pliages, et il a fallu pour cela une bande de papier toilette d’environ 16 km de long.
Pourquoi ce nombre nous paraît-il absurde ? Notre intuition sait bien gérer les additions. Si l’on imagine 42 étapes, on imagine 42 étapes identiques côte à côte. Ici, en revanche, chaque étape ajoute autant que l’épaisseur de tout le papier jusque-là. Après dix pliages, le papier est épais d’environ 10 cm, après vingt pliages de plus de 100 m, et après trente il monte déjà à 107 km de haut. Et les douze derniers pliages, qui amènent le papier jusqu’à la Lune, ne sont tout simplement que douze doublements de plus.
Ça ne peut pas durer éternellement
Si les nénuphars continuaient à se multiplier au même rythme, le 31ᵉ jour ils recouvriraient deux étangs, et le 40ᵉ jour mille étangs. Bien sûr, cela ne se passe pas ainsi. Un étang a une surface limitée, les bactéries disposent d’une quantité limitée de nourriture, et une maladie n’a plus personne à contaminer lorsque la plupart des gens l’ont déjà eue. Dans la nature, la croissance exponentielle ne dure que jusqu’au moment où la place ou les ressources viennent à manquer.
Alors la croissance ralentit, et la valeur s’approche d’un plafond que le milieu peut supporter. Le graphe d’une telle croissance ressemble à un S allongé ; c’est pourquoi on l’appelle courbe en S, ou, en termes savants, croissance logistique.
Au début, les deux courbes sont presque identiques. Il y a suffisamment de ressources, rien ne freine, et la courbe en S croît exponentiellement. Avant même la moitié du chemin, elle commence à s’écarter de l’exponentielle ; à mi-parcours, elle croît le plus vite en direction du plafond K, puis elle s’infléchit et ne fait plus que s’en approcher lentement. Le problème, c’est qu’à partir de la partie initiale du graphe on ne peut pas savoir si l’on regarde une exponentielle ou une courbe en S. Cela ne se voit que plus tard.
Une valeur peut aussi diminuer selon le même schéma. Il suffit que la valeur soit multipliée à chaque période par un nombre inférieur à un, comme dans l’épidémie avec R = 0,8. L’exemple classique est la désintégration radioactive. Au lieu du temps de doublement, on parle ici de demi-vie, c’est-à-dire du temps au bout duquel la moitié de la substance s’est désintégrée. Le césium 137 a une demi-vie d’environ 30 ans. Après 30 ans, il en reste la moitié, après 60 ans un quart, après 90 ans un huitième. Mathématiquement, on ne fait que diviser par deux, et l’on n’arrive jamais à zéro. Mais la substance est faite d’atomes : c’est pourquoi, pour un gramme de césium, le dernier atome finit par se désintégrer au bout d’environ deux mille ans.
