Crescita esponenziale
Un’antica leggenda racconta che l’inventore degli scacchi chiese al sovrano una modesta ricompensa: un chicco di riso sulla prima casella della scacchiera, due sulla seconda, quattro sulla terza e su ogni casella successiva il doppio di quelli della precedente. Il sovrano, si dice, rise di quanto poco desiderasse il saggio e ordinò di portare un sacco di riso. Ma rise troppo presto.
Sulla prima casella c’è 1 chicco, cioè 20. Sulla seconda 21 = 2, sulla terza 22 = 4, sulla quarta 23 = 8. L’esponente è di uno più piccolo del numero della casella, quindi sull’ultima, la 64ª casella, ci sono
chicchi. Sono più di nove trilioni. Ma questa è solo l’ultima casella, e a noi interessa tutta la scacchiera. Sommando tutte le caselle otteniamo
cioè esattamente 18.446.744.073.709.551.615 chicchi.
Perché proprio 264 − 1? Verificalo sulle prime caselle: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. La somma è sempre di uno più piccola del numero di chicchi della casella successiva.
Un chicco di riso decorticato pesa circa 20 milligrammi, quindi mille chicchi pesano circa 20 grammi. Calcoliamo quanto peserebbe l’intera scacchiera:
L’intera scacchiera peserebbe circa 369 miliardi di tonnellate di riso. Il mondo intero, invece, produce in un anno circa 540 milioni di tonnellate di riso decorticato. Per quanti anni di raccolto mondiale basterebbe? Il quoziente dei due numeri:
Il sovrano dovrebbe consegnare all’inventore tutto il riso che l’umanità raccoglie in più di seicento anni. La cosa più interessante è quanto a lungo sembra innocuo: l’intera prima metà della scacchiera, 32 caselle, dà in tutto 232 − 1, cioè circa 4,3 miliardi di chicchi. Sono circa 86 tonnellate, qualche camion. Il resto si versa solo sulla seconda metà della scacchiera.
Addizione contro moltiplicazione
Se qualcosa cresce in modo che a ogni passo gli si aggiunga lo stesso numero, parliamo di crescita lineare. Se invece a ogni passo lo si moltiplica per lo stesso numero, si ha una crescita esponenziale. Sulla scacchiera si moltiplicava per due.
I genitori propongono a Marco due modi per aumentargli la paghetta. Ora riceve 12 € al mese e ogni mese gliela aumentano o di 4 €, oppure del 10%. Quattro euro, o solo il dieci per cento di dodici, cioè 1,20 €? La scelta sembra ovvia.
Nel primo mese è proprio così. Con l’addizione Marco riceve 12 + 4 = 16 €, con la moltiplicazione 12 · 1,1 = 13,2 €. Dopo sei mesi l’addizione dà 36 € e la moltiplicazione circa 21 €. Ma il dieci per cento si calcola su una cifra sempre più grande, quindi gli incrementi crescono, mentre i 4 € restano 4 €. Al 23º mese la moltiplicazione supera l’addizione e da quel momento non fa che allontanarsene: dopo tre anni Marco riceverebbe 156 € con l’addizione e più di 370 € con la moltiplicazione. E dopo quattro anni 204 € contro circa 1164 € al mese.
La retta blu per un po’ è in testa, ma la curva rossa sale sempre più ripida. Vale in generale: la crescita esponenziale prima o poi supera qualsiasi crescita lineare, la questione è solo quando.
Tutta la crescita esponenziale sta in un’unica formula
dove N0 è il valore iniziale, q è il numero per cui si moltiplica in ogni periodo e t è il numero di periodi trascorsi. Nel caso di Marco N0 = 12 e q = 1,1, perché aggiungere il 10% significa moltiplicare per 1,1. Dopo 36 mesi otteniamo
Sulla scacchiera N0 = 1 e q = 2. La variabile t sta all’esponente, quindi si tratta di una funzione esponenziale. Lì trovi anche i batteri che si dividono in due.
In quanto tempo raddoppia?
Nella crescita esponenziale è utile chiedersi in quanto tempo il valore raddoppia. Questo tempo di raddoppio non cambia, da qualunque momento partiamo. Se qualcosa raddoppia in dieci anni, in altri dieci anni raddoppia di nuovo e in venti anni è quattro volte tanto.
Per una stima basta un semplice trucco, la regola del 70: se qualcosa cresce del p per cento per periodo, raddoppia approssimativamente in
periodi. Se i prezzi nei negozi salgono ogni anno del 7%, raddoppiano in circa 70:7 = 10 anni. Un panino che oggi costa 1 € tra dieci anni costerebbe quasi 2 €. I soldi depositati con un interesse del 3% annuo, invece, raddoppiano in circa 70:3 ≈ 23 anni. Gli interessi, infatti, si calcolano anche su quelli precedenti, quindi si tratta di interesse composto, cioè di nuovo di crescita esponenziale.
Perché proprio settanta? Il tempo di raddoppio esatto si trova con il logaritmo. Cerchiamo il t che risolve l’equazione esponenziale
Applichiamo il logaritmo a entrambi i membri, così l’esponente passa davanti al logaritmo:
Ora basta dividere:
I prezzi raddoppierebbero quindi in poco meno di dieci anni e un quarto: la regola del 70 ha colto quasi nel segno. Il settanta nasce dal fatto che il quoziente di due logaritmi è lo stesso, qualunque sia la base del logaritmo. Con il logaritmo naturale ln e una crescita generica del p per cento otteniamo
perché per percentuali piccole
Le ninfee nello stagno
Prima di continuare a leggere, prova a risolvere da solo questo rompicapo. In uno stagno crescono delle ninfee e ogni giorno ce ne sono il doppio del giorno prima. In 30 giorni coprono tutto lo stagno. In quale giorno era coperta metà dello stagno?
Viene spontaneo rispondere «il quindicesimo giorno», visto che quindici è la metà di trenta. Ma il numero delle ninfee raddoppia ogni giorno, quindi se al 30º giorno tutto lo stagno è coperto, il giorno prima doveva essere coperto per metà. Metà dello stagno era sotto le ninfee il 29º giorno.
Se andiamo ancora più indietro nel tempo: il 28º giorno era coperto un quarto, il 27º un ottavo, il 26º un sedicesimo, il 25º solo circa il 3% della superficie. Chi andasse a guardare lo stagno il 25º giorno vedrebbe acqua quasi pulita e concluderebbe che c’è tempo. E in soli cinque giorni lo stagno è completamente invaso.
Proprio questo è l’aspetto insidioso della crescita esponenziale. Per la maggior parte del tempo sembra innocua e, quando è ormai visibile a occhio nudo, mancano solo pochi raddoppi alla fine.
L’epidemia
Con lo stesso ritmo si può diffondere anche una malattia. Supponiamo che oggi in una città ci siano 100 contagiati e che il numero dei casi raddoppi ogni tre giorni. In 30 giorni raddoppia quindi dieci volte:
Da cento malati in un mese si passa a più di centomila. Per questo gli epidemiologi spingono per adottare misure quando i numeri sono ancora piccoli e alla gente sembra che non stia succedendo niente. Siamo infatti al 25º giorno dello stagno.
Quanto velocemente si diffonde una malattia lo descrive il numero di riproduzione R. In modo semplificato: quante altre persone, in media, contagia un malato. Se R = 2, ognuno ne contagia altre due, quei due ne contagiano quattro e ogni «generazione» di malati è numerosa il doppio della precedente. Se una generazione dura circa tre giorni, torniamo esattamente all’esempio precedente. Quando si riesce a far scendere R sotto uno, per esempio a 0,8, il numero dei malati in ogni generazione si moltiplica per un numero minore di uno e l’epidemia si attenua. Da 100 contagiati, alla decima generazione se ne contagiano solo circa
persone.
La differenza tra R = 0,8 e R = 2 sembra piccola. Dopo dieci generazioni, però, diventa un abisso tra undici e centoduemila malati.
Piega il foglio quarantadue volte
Prendi un foglio di carta, spesso circa un decimo di millimetro. Piegalo a metà e hai due strati, cioè due decimi di millimetro. Piegalo di nuovo e hai quattro strati. Ogni piegatura raddoppia lo spessore. Quanto sarebbe spessa la carta dopo 42 piegature?
La Luna dista dalla Terra in media circa 384.000 km. Un foglio piegato quarantadue volte la raggiungerebbe e ne sporgerebbe ancora un bel pezzo.
Non c’è bisogno di provarci: con le mani non riuscirai comunque a piegare un foglio più di sette volte. Dopo sette piegature ha 128 strati ed è spesso poco meno di 1,3 cm, in più diventa sempre più piccolo e rigido. Il record è di tredici piegature e per ottenerlo servì una striscia di carta igienica lunga circa 16 km.
Perché questo numero ci sembra assurdo? L’intuizione se la cava con l’addizione. Quando ci immaginiamo 42 passi, ci immaginiamo 42 passi uguali messi uno accanto all’altro. Qui, però, ogni passo aggiunge tanto quanto è spessa fino a quel momento tutta la carta. Dopo dieci piegature il foglio è spesso circa 10 cm, dopo venti più di 100 m e dopo trenta arriva già a 107 km di altezza. E le ultime dodici piegature, con cui la carta arriva alla Luna, sono semplicemente altri dodici raddoppi.
Non può durare per sempre
Se le ninfee si moltiplicassero allo stesso ritmo ancora a lungo, il 31º giorno coprirebbero due stagni, il 40º giorno mille stagni. Naturalmente le cose non vanno così. Lo stagno ha una superficie limitata, i batteri hanno una quantità limitata di cibo e la malattia non ha nessuno da contagiare quando la maggior parte delle persone l’ha già avuta. In natura la crescita esponenziale dura solo finché non cominciano a scarseggiare lo spazio o le risorse.
Poi la crescita rallenta e il valore si avvicina a un tetto che l’ambiente riesce a sostenere. Il grafico di una crescita simile ha l’aspetto di una lettera S allungata, per questo si chiama curva a S, in termini tecnici crescita logistica.
All’inizio le due curve sono quasi indistinguibili. Le risorse sono abbondanti, quindi niente frena la crescita e la curva a S cresce in modo esponenziale. Già prima di metà percorso comincia a discostarsi dall’esponenziale, a metà strada verso il tetto K cresce con la massima rapidità e poi si piega e si avvicina al tetto solo lentamente. Il problema è che dalla parte iniziale del grafico non si capisce se si sta guardando un’esponenziale o una curva a S. Lo si vede solo più tardi.
Secondo lo stesso schema il valore può anche diminuire. Basta che in ogni periodo il valore si moltiplichi per un numero minore di uno, come nell’epidemia con R = 0,8. Un esempio da manuale è il decadimento radioattivo. Al posto del tempo di raddoppio si parla qui di tempo di dimezzamento, cioè del tempo in cui si disintegra metà della sostanza. Il cesio 137 radioattivo ha un tempo di dimezzamento di circa 30 anni. Dopo 30 anni ne resta la metà, dopo 60 anni un quarto, dopo 90 anni un ottavo. In senso matematico si continua a dimezzare e non si arriva mai a zero. Ma la sostanza è fatta di atomi, e così da un grammo di cesio dopo circa duemila anni si disintegra anche l’ultimo.
