Exponentiële groei

Een oude legende vertelt dat de uitvinder van het schaakspel de heerser om een bescheiden beloning vroeg: op het eerste veld van het schaakbord één rijstkorrel, op het tweede twee, op het derde vier en op elk volgend veld twee keer zoveel als op het vorige. De heerser lachte naar verluidt om hoe weinig de wijze man wilde hebben en liet een zak rijst brengen. Hij lachte echter te vroeg.

$Op de eerste rij van het schaakbord liggen 1, 2, 4, … tot 128 korrels, op het laatste veld 2^{63}$

Op het eerste veld ligt 1 korrel, dus 2⁰. Op het tweede 2¹ = 2, op het derde 2² = 4, op het vierde 2³ = 8. De exponent is één kleiner dan het nummer van het veld, dus op het laatste, 64e veld liggen

$2^{63} = 9 223 372 036 854 775 808$

korrels. Dat is ruim negen triljoen. Maar dat is alleen het laatste veld en wij hebben het over het hele schaakbord. Als we alle velden optellen, krijgen we

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{63} = 2^{64} - 1,$

dus precies 18 446 744 073 709 551 615 korrels.

Waarom precies 2⁶⁴ − 1? Controleer het op de eerste velden: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. De som is telkens één kleiner dan het aantal korrels op het volgende veld.

Eén korrel gepelde rijst weegt ongeveer 20 milligram, duizend korrels dus zo'n 20 gram. We berekenen hoeveel het hele schaakbord zou wegen:

$(2^{64} - 1) \cdot 20 mg \approx 369 000 000 000 t$

Het hele schaakbord zou ongeveer 369 miljard ton rijst wegen. De hele wereld verbouwt daarentegen per jaar ongeveer 540 miljoen ton gepelde rijst. Voor hoeveel jaar wereldoogst zou dat genoeg zijn? De verhouding van beide getallen:

$\frac{369 000 000 000}{540 000 000} \approx 683$

De heerser zou de uitvinder alle rijst moeten geven die de mensheid in meer dan zeshonderd jaar oogst. Het meest opvallende is hoe lang het er onschuldig uitziet: de hele eerste helft van het schaakbord, 32 velden, geeft samen 2³² − 1, dus ongeveer 4,3 miljard korrels. Dat is zo'n 86 ton, een paar vrachtwagens. De rest wordt pas op de tweede helft van het schaakbord gestort.

Optellen tegenover vermenigvuldigen

Als iets zo groeit dat er in elke stap hetzelfde getal bij wordt opgeteld, spreken we van lineaire groei. Als het daarentegen in elke stap met hetzelfde getal wordt vermenigvuldigd, is het exponentiële groei. Op het schaakbord was het vermenigvuldigen met twee.

De ouders van Daan bieden hem twee mogelijkheden om zijn zakgeld te verhogen. Nu krijgt hij € 30 per maand en ze verhogen het elke maand met € 10 of met 10%. Tien euro, of maar tien procent van dertig, dus drie euro? De keuze lijkt duidelijk.

In de eerste maand klopt dat ook. Bij optellen krijgt Daan 30 + 10 = 40 euro, bij vermenigvuldigen 30 · 1,1 = 33 euro. Na een half jaar heeft optellen € 90 en vermenigvuldigen ongeveer € 53. Tien procent wordt echter berekend van een steeds groter bedrag, dus de toenames worden groter, terwijl tien euro tien euro blijft. In de 23e maand haalt vermenigvuldigen optellen in en vanaf dat moment loopt het er alleen nog maar verder bij vandaan: na drie jaar zou Daan bij optellen € 390 krijgen, bij vermenigvuldigen ruim € 920. En na vier jaar € 510 tegenover ongeveer € 2900 per maand.

Zakgeld per maand t: blauw +€ 10 per maand, rood +10% per maand

De blauwe rechte lijn leidt een tijdje, maar de rode kromme stijgt steeds steiler. Dat geldt in het algemeen: exponentiële groei haalt vroeg of laat elke lineaire groei in, de vraag is alleen wanneer.

Alle exponentiële groei past in één formule

$N = N_{0} \cdot q^{t},$

waarbij N₀ de beginwaarde is, q het getal waarmee per periode wordt vermenigvuldigd (de groeifactor) en t het aantal verstreken perioden. Bij Daan is N₀ = 30 en q = 1,1, omdat 10% erbij optellen betekent vermenigvuldigen met het getal 1,1. Na 36 maanden krijgen we

$N = 30 \cdot 1, 1^{36} \approx 927, 4 euro .$

Op het schaakbord is N₀ = 1 en q = 2. De variabele t staat in de exponent, het gaat dus om een exponentiële functie. Daar vind je ook de bacteriën die zich in tweeën splitsen.

Na hoeveel tijd verdubbelt het?

Bij exponentiële groei is het handig om te vragen na hoeveel tijd de waarde verdubbelt. Deze verdubbelingstijd verandert niet, wanneer we ook beginnen. Als iets in tien jaar verdubbelt, verdubbelt het over nog eens tien jaar weer en na twintig jaar is het vier keer zoveel.

Voor een schatting is er een eenvoudig hulpmiddel, de regel van 70: als iets met p procent per periode groeit, verdubbelt het ongeveer in

$\frac{70}{p}$

perioden. Als de prijzen in de winkel elk jaar met 7% stijgen, verdubbelen ze in ongeveer 70:7 = 10 jaar. Een broodje dat nu € 2 kost, zou over tien jaar bijna € 4 kosten. Geld dat met 3% rente per jaar is gespaard, verdubbelt daarentegen in ongeveer 70:3 ≈ 23 jaar. De rente wordt namelijk ook over de eerdere rente berekend, en het gaat dus om samengestelde interest, dus weer om exponentiële groei.

Waarom precies zeventig? De exacte verdubbelingstijd vinden we met behulp van de logaritme. We zoeken de t die de exponentiële vergelijking oplost

$1, 07^{t} = 2.$

We nemen aan beide kanten de logaritme, waardoor de exponent voor de logaritme komt te staan:

$t \cdot \log 1, 07 = \log 2$

Nu hoeven we alleen nog te delen:

$t = \frac{\log 2}{\log 1, 07} \approx \frac{0,301}{0,029 4} \approx 10, 2$

De prijzen zouden dus in bijna tien en een kwart jaar verdubbelen, de regel van 70 zit er bijna precies bovenop. De zeventig komt voort uit het feit dat de verhouding van twee logaritmen hetzelfde is, welk grondtal we ook nemen. Met de natuurlijke logaritme ln en algemene groei met p procent krijgen we

$t = \frac{\ln 2}{\ln (1 + \frac{p}{100})} \approx \frac{0,693}{\frac{p}{100}} = \frac{69, 3}{p},$

omdat voor kleine percentages $\ln (1 + \frac{p}{100})$ ongeveer $\frac{p}{100}$ is. In plaats van 69,3 nemen we 70, omdat dat makkelijker deelt. De regel werkt dus goed voor percentages van enkele procenten, bij tientallen procenten zit hij er al wat naast.

Waterlelies in een vijver

Probeer, voordat je verder leest, deze puzzel zelf te kraken. In een vijver groeien waterlelies en elke dag zijn het er twee keer zoveel als de dag ervoor. Na 30 dagen bedekken ze de hele vijver. Op welke dag was de helft van de vijver bedekt?

Het antwoord dat zich opdringt is de vijftiende dag, want vijftien is de helft van dertig. Maar het aantal waterlelies verdubbelt elke dag, dus als op dag 30 de hele vijver bedekt is, moet de dag ervoor de helft bedekt zijn geweest. De helft van de vijver was bedekt op dag 29.

Waterlelies in een vijver op dag 26 tot en met 30

Als we nog verder terug in de tijd gaan: op dag 28 was een kwart bedekt, op dag 27 een achtste, op dag 26 een zestiende, op dag 25 maar zo'n 3% van het wateroppervlak. Wie op dag 25 naar de vijver was gaan kijken, zou bijna helder water hebben gezien en geconcludeerd hebben dat er tijd genoeg is. En in nog maar vijf dagen is de vijver helemaal dichtgegroeid.

Dat is nu juist het verraderlijke aan exponentiële groei. Het grootste deel van de tijd ziet het er onschuldig uit, en als het met het blote oog al te zien is, zijn er nog maar een paar verdubbelingen te gaan tot het einde.

Epidemie

In hetzelfde tempo kan zich ook een ziekte verspreiden. Stel dat er in een stad vandaag 100 besmette mensen zijn en het aantal gevallen elke drie dagen verdubbelt. In 30 dagen verdubbelt het dus tien keer:

$100 \cdot 2^{10} = 100 \cdot 1024 = 102 400$

Van honderd zieken zijn het er in een maand meer dan honderdduizend. Daarom dringen epidemiologen aan op maatregelen op het moment dat de aantallen nog klein zijn en het mensen lijkt alsof er niets aan de hand is. We zijn dan namelijk bij de vijver op dag 25.

Hoe snel een ziekte zich verspreidt, wordt beschreven door het reproductiegetal R. Vereenvoudigd: hoeveel andere mensen één zieke gemiddeld besmet. Als R = 2, besmet iedereen twee anderen, besmetten die twee er vier en is elke “generatie” zieken twee keer zo talrijk. Als één generatie ongeveer drie dagen duurt, komen we precies terug bij het voorbeeld hierboven. Als het lukt om R onder één te krijgen, bijvoorbeeld tot 0,8, wordt het aantal zieken in elke generatie met een getal kleiner dan één vermenigvuldigd en neemt de epidemie af. Van 100 besmette mensen raken er in de tiende generatie nog maar ongeveer

$100 \cdot 0, 8^{10} \approx 11$

besmet.

Het verschil tussen R = 0,8 en R = 2 lijkt klein. Na tien generaties is het echter een kloof tussen elf en honderdtweeduizend zieken.

Vouw een papier tweeënveertig keer

Neem een vel papier, ongeveer een tiende millimeter dik. Vouw het dubbel en je hebt twee lagen, dus twee tiende millimeter. Vouw het nog een keer en je hebt vier lagen. Elke vouw verdubbelt de dikte. Hoe dik zou het papier zijn na 42 keer vouwen?

$0, 1 mm \cdot 2^{42} \approx 440 000 000 000 mm = 440 000 km$

De maan staat gemiddeld ongeveer 384 000 km van de aarde. Een papier dat tweeënveertig keer is gevouwen, zou daar reiken en er nog een stuk overheen steken.

Je hoeft het niet uit te proberen, je kunt een vel papier met je handen toch niet meer dan zeven keer vouwen. Na zeven vouwen heeft het 128 lagen en is het bijna 1,3 cm dik, en bovendien wordt het steeds kleiner en stijver. Het record is dertien vouwen en daarvoor was een strook toiletpapier van ongeveer 16 km lang nodig.

Waarom lijkt ons dit getal absurd? Onze intuïtie kan goed overweg met optellen. Als we ons 42 stappen voorstellen, stellen we ons 42 gelijke stappen naast elkaar voor. Maar hier voegt elke stap evenveel toe als het hele papier tot nu toe dik is. Na tien vouwen is het papier ongeveer 10 cm dik, na twintig meer dan 100 m en na dertig reikt het al 107 km hoog. En de laatste twaalf vouwen, waarmee het papier bij de maan komt, zijn gewoon nog eens twaalf verdubbelingen.

Het houdt niet eeuwig aan

Als de waterlelies zich in hetzelfde tempo zouden blijven vermenigvuldigen, zouden ze op dag 31 twee vijvers bedekken, op dag 40 duizend vijvers. Zo werkt het natuurlijk niet. Een vijver heeft maar een beperkte oppervlakte, bacteriën hebben een beperkte hoeveelheid voedsel en een ziekte heeft niemand meer om te besmetten als de meeste mensen haar al hebben gehad. In de natuur duurt exponentiële groei maar tot het moment waarop de ruimte of de bronnen beginnen op te raken.

Dan vertraagt de groei en nadert de waarde een plafond dat het milieu kan dragen. De grafiek van zo'n groei ziet eruit als een uitgerekte letter S, daarom heet dat een S-curve, in vaktaal logistische groei.

Exponentiële groei (rood) en logistische groei (groen) met plafond K

In het begin verschillen beide krommen bijna niet. Er zijn genoeg bronnen, dus niets remt af en de S-curve groeit exponentieel. Al voordat ze halverwege is, begint ze van de exponentiële kromme af te wijken, halverwege het plafond K groeit ze het snelst en dan buigt ze af en nadert het plafond maar langzaam. Het probleem is dat je aan het beginstuk van de grafiek niet kunt zien of je naar een exponentiële of naar een S-curve kijkt. Dat blijkt pas later.

Volgens hetzelfde patroon kan een waarde ook dalen. Het is genoeg dat de waarde in elke periode met een getal kleiner dan één wordt vermenigvuldigd, zoals bij de epidemie met R = 0,8. Een schoolvoorbeeld is radioactief verval. In plaats van de verdubbelingstijd spreken we hier van de halveringstijd, dus de tijd waarin de helft van de stof vervalt. Radioactief cesium-137 heeft een halveringstijd van ongeveer 30 jaar. Na 30 jaar blijft er de helft van over, na 60 jaar een kwart, na 90 jaar een achtste. Wiskundig gezien wordt het alleen maar gehalveerd en gehalveerd en daalt het nooit tot nul. Maar een stof bestaat uit atomen, en zo vervalt van een gram cesium na ongeveer tweeduizend jaar ook het laatste atoom.

Zie ook

« Vorige: Exponentiële functie

Volgende: Goniometrische functies »