Creșterea exponențială

O veche legendă spune că inventatorul șahului i-a cerut suveranului o răsplată modestă: un bob de orez pe primul pătrat al tablei, două pe al doilea, patru pe al treilea și pe fiecare pătrat următor de două ori mai multe decât pe cel dinainte. Suveranul a râs, se zice, de cât de puțin dorește înțeleptul, și a poruncit să se aducă un sac de orez. Dar a râs prea devreme.

$Pe primul rând al tablei de șah sunt 1, 2, 4, … până la 128 de boabe, iar pe ultimul pătrat 2^{63}$

Pe primul pătrat este 1 bob, adică 2⁰. Pe al doilea 2¹ = 2, pe al treilea 2² = 4, pe al patrulea 2³ = 8. Exponentul este cu unu mai mic decât numărul pătratului, deci pe ultimul, al 64-lea pătrat, se găsesc

$2^{63} = 9.223 .372 .036 .854 .775 .808$

de boabe. Asta înseamnă peste nouă trilioane. Dar acesta este doar ultimul pătrat, iar pe noi ne interesează toată tabla. Dacă adunăm toate pătratele, obținem

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{63} = 2^{64} - 1,$

adică exact 18.446.744.073.709.551.615 de boabe.

De ce tocmai 2⁶⁴ − 1? Verifică pe primele pătrate: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Suma este de fiecare dată cu unu mai mică decât numărul de boabe de pe pătratul următor.

Un bob de orez decorticat cântărește aproximativ 20 de miligrame, deci o mie de boabe cântăresc cam 20 de grame. Să calculăm cât ar cântări toată tabla:

$(2^{64} - 1) \cdot 20 mg \approx 369.000 .000 .000 t$

Toată tabla ar cântări cam 369 de miliarde de tone de orez. În schimb, întreaga lume cultivă într-un an aproximativ 540 de milioane de tone de orez decorticat. Pentru câți ani de recoltă mondială ar ajunge? Câtul celor două numere:

$\frac{369.000 .000 .000}{540.000 .000} \approx 683$

Suveranul ar fi trebuit să-i dea inventatorului tot orezul pe care omenirea îl strânge în mai bine de șase sute de ani. Cel mai interesant este cât timp pare totul nevinovat: prima jumătate a tablei, adică 32 de pătrate, dă împreună 2³² − 1, deci cam 4,3 miliarde de boabe. Asta înseamnă în jur de 86 de tone, câteva camioane. Restul se toarnă abia pe a doua jumătate a tablei.

Adunare contra înmulțire

Dacă ceva crește astfel încât la fiecare pas i se adaugă același număr, vorbim despre o creștere liniară. Dacă, dimpotrivă, la fiecare pas se înmulțește cu același număr, este o creștere exponențială. Pe tabla de șah a fost o înmulțire cu doi.

Părinții îi oferă lui Andrei două variante de mărire a banilor de buzunar. Acum primește 300 de lei pe lună și fie i-i măresc în fiecare lună cu 100 de lei, fie cu 10%. O sută de lei sau doar zece procente din trei sute, adică treizeci? Alegerea pare clară.

În prima lună chiar așa și este. La adunare, Andrei primește 300 + 100 = 400 de lei, la înmulțire 300 · 1,1 = 330 de lei. După o jumătate de an, adunarea dă 900 de lei, iar înmulțirea aproximativ 531 de lei. Dar cele zece procente se calculează dintr-o sumă din ce în ce mai mare, așa că sporurile cresc, în timp ce suta rămâne tot o sută. În luna a 23-a înmulțirea depășește adunarea și de atunci doar se îndepărtează de ea: după trei ani, Andrei ar primi la adunare 3900 de lei, iar la înmulțire peste 9200 de lei. Iar după patru ani, 5100 de lei față de aproximativ 29.100 de lei pe lună.

Banii de buzunar pe luni t: cu albastru +100 de lei pe lună, cu roșu +10% pe lună

Dreapta albastră conduce o vreme, dar curba roșie urcă tot mai abrupt. În general, creșterea exponențială depășește mai devreme sau mai târziu orice creștere liniară, întrebarea este doar când.

Întreaga creștere exponențială încape într-o singură formulă

$N = N_{0} \cdot q^{t},$

unde N₀ este valoarea inițială, q este numărul cu care se înmulțește într-o perioadă, iar t este numărul de perioade trecute. La Andrei avem N₀ = 300 și q = 1,1, pentru că a adăuga 10% înseamnă a înmulți cu 1,1. După 36 de luni obținem

$N = 300 \cdot 1, 1^{36} \approx 9.274 lei .$

Pe tabla de șah avem N₀ = 1 și q = 2. Variabila t se află în exponent, deci este vorba despre o funcție exponențială. Acolo găsești și bacteriile care se divid în două.

În cât timp se dublează?

La creșterea exponențială este util să ne întrebăm în cât timp se dublează valoarea. Acest timp de dublare nu se schimbă, indiferent de momentul de la care începem. Dacă ceva se dublează în zece ani, în alți zece ani se dublează din nou, iar în douăzeci de ani este de patru ori mai mult.

Pentru o estimare ne ajută un instrument simplu, regula lui 70: dacă ceva crește cu p procente pe perioadă, se dublează aproximativ în

$\frac{70}{p}$

perioade. Dacă prețurile din magazin cresc în fiecare an cu 7%, se dublează cam în 70:7 = 10 ani. O chiflă care costă azi 4 lei ar costa peste zece ani aproape opt. Banii depuși cu dobândă de 3% pe an se dublează, în schimb, în aproximativ 70:3 ≈ 23 de ani. Dobânzile se calculează și din cele de dinainte, așa că este vorba despre dobândă compusă, adică din nou despre creștere exponențială.

De ce tocmai șaptezeci? Timpul exact de dublare îl aflăm cu ajutorul logaritmului. Căutăm t care rezolvă ecuația exponențială

$1, 07^{t} = 2.$

Logaritmăm ecuația, iar exponentul coboară în fața logaritmului:

$t \cdot \lg 1, 07 = \lg 2$

Acum mai trebuie doar să împărțim:

$t = \frac{\lg 2}{\lg 1, 07} \approx \frac{0,301}{0,029 4} \approx 10, 2$

Prețurile s-ar dubla astfel în puțin sub zece ani și un sfert, deci regula lui 70 a nimerit aproape exact. Numărul șaptezeci provine din faptul că raportul a doi logaritmi este același, indiferent de baza logaritmului pe care o alegem. Cu logaritmul natural ln și o creștere generală cu p procente obținem

$t = \frac{\ln 2}{\ln (1 + \frac{p}{100})} \approx \frac{0,693}{\frac{p}{100}} = \frac{69, 3}{p},$

deoarece pentru procente mici $\ln (1 + \frac{p}{100})$ este aproximativ $\frac{p}{100}$ . În loc de 69,3 se ia 70, pentru că se împarte mai ușor. Regula funcționează deci bine pentru procente de ordinul unităților, iar la zeci de procente se înșală puțin.

Nuferii de pe lac

Înainte de a citi mai departe, încearcă să rezolvi singur această ghicitoare. Pe un lac cresc nuferi, iar în fiecare zi sunt de două ori mai mulți decât în ziua precedentă. În 30 de zile acoperă tot lacul. În a câta zi era acoperită jumătate din lac?

Răspunsul care vine primul în minte este ziua a cincisprezecea, căci 15 este jumătate din 30. Dar numărul de nuferi se dublează zilnic, așa că, dacă în ziua a 30-a lacul este acoperit complet, cu o zi înainte trebuie să fi fost acoperit pe jumătate. Jumătate din lac era sub nuferi în ziua a 29-a.

Nuferii de pe lac în zilele 26 până la 30

Dacă mergem și mai departe înapoi în timp: în ziua a 28-a era acoperit un sfert, în ziua a 27-a o optime, în ziua a 26-a o șaisprezecime, în ziua a 25-a doar cam 3% din suprafață. Cine s-ar fi dus să vadă lacul în ziua a 25-a ar fi văzut apă aproape curată și ar fi socotit că mai este timp destul. Iar în doar cinci zile lacul este acoperit în întregime.

Tocmai asta este înșelător la creșterea exponențială. Cea mai mare parte a timpului pare nevinovată, iar când se vede cu ochiul liber, mai rămân doar câteva dublări până la sfârșit.

Epidemia

În același ritm se poate răspândi și o boală. Să spunem că într-un oraș sunt azi 100 de persoane infectate, iar numărul cazurilor se dublează la fiecare trei zile. În 30 de zile se dublează astfel de zece ori:

$100 \cdot 2^{10} = 100 \cdot 1.024 = 102.400$

Dintr-o sută de bolnavi se ajunge într-o lună la peste o sută de mii. De aceea epidemiologii insistă pe măsuri atunci când cifrele sunt încă mici, iar oamenilor li se pare că nu se întâmplă nimic. Suntem, de fapt, la lac în ziua a 25-a.

Cât de repede se răspândește o boală descrie numărul de reproducere R. Simplificat: câte alte persoane infectează, în medie, un bolnav. Dacă R = 2, fiecare infectează alte două persoane, acestea două infectează patru și fiecare „generație” de bolnavi este de două ori mai numeroasă. Dacă o generație durează aproximativ trei zile, ne întoarcem exact la exemplul de mai sus. Când se reușește coborârea lui R sub unu, de exemplu la 0,8, numărul bolnavilor se înmulțește în fiecare generație cu un număr mai mic decât unu, iar epidemia slăbește. Din 100 de persoane infectate, în a zecea generație se mai infectează doar aproximativ

$100 \cdot 0, 8^{10} \approx 11$

persoane.

Diferența dintre R = 0,8 și R = 2 pare mică. După zece generații, ea înseamnă însă prăpastia dintre unsprezece și o sută două mii de bolnavi.

Îndoaie hârtia de patruzeci și două de ori

Ia o foaie de hârtie groasă de aproximativ o zecime de milimetru. Îndoaie-o în două și ai două straturi, adică două zecimi de milimetru. Îndoaie-o din nou și ai patru straturi. Fiecare îndoire dublează grosimea. Cât de groasă ar fi hârtia după 42 de îndoiri?

$0, 1 mm \cdot 2^{42} \approx 440.000 .000 .000 mm = 440.000 km$

Luna se află în medie la aproximativ 384.000 km de Pământ. O hârtie îndoită de patruzeci și două de ori ar ajunge la ea și ar mai depăși-o cu o bucată.

Nu este nevoie să încerci, oricum nu poți îndoi cu mâinile o foaie de hârtie de mai mult de șapte ori. După șapte îndoiri are 128 de straturi și este groasă de aproape 1,3 cm, iar în plus devine tot mai mică și mai rigidă. Recordul este de treisprezece îndoiri și a fost nevoie pentru el de o fâșie de hârtie igienică lungă de aproximativ 16 km.

De ce ni se pare absurd acest număr? Intuiția se descurcă cu adunarea. Când ne imaginăm 42 de pași, ne imaginăm 42 de pași identici așezați unul lângă altul. Aici însă fiecare pas adaugă cât este de groasă toată hârtia până atunci. După zece îndoiri hârtia este groasă de aproximativ 10 cm, după douăzeci de peste 100 m, iar după treizeci ajunge deja la 107 km înălțime. Iar ultimele douăsprezece îndoiri, prin care hârtia ajunge la Lună, sunt pur și simplu încă douăsprezece dublări.

Nu ține la nesfârșit

Dacă nuferii s-ar înmulți în continuare în același ritm, în ziua a 31-a ar acoperi două lacuri, iar în ziua a 40-a o mie de lacuri. Evident, lucrurile nu merg așa. Lacul are o suprafață limitată, bacteriile au o cantitate limitată de hrană, iar boala nu mai are pe cine să infecteze când majoritatea oamenilor au trecut deja prin ea. În natură, creșterea exponențială durează doar până când încep să se termine spațiul sau resursele.

Apoi creșterea încetinește, iar valoarea se apropie de un plafon pe care mediul îl poate susține. Graficul unei asemenea creșteri arată ca o literă S întinsă, de aceea i se spune curbă în S, în termeni de specialitate creștere logistică.

Creșterea exponențială (cu roșu) și creșterea logistică (cu verde) cu plafonul K

La început cele două curbe aproape că nu se deosebesc. Resursele sunt suficiente, deci nimic nu frânează, iar curba în S crește exponențial. Încă înainte de jumătatea drumului ea începe să se abată de la exponențială, la jumătatea distanței până la plafonul K crește cel mai repede, apoi se curbează și se apropie de plafon doar încet. Problema este că din partea de început a graficului nu poți spune dacă te uiți la o exponențială sau la o curbă în S. Asta se vede abia mai târziu.

După același tipar, o valoare poate și să scadă. Este de ajuns ca valoarea să se înmulțească în fiecare perioadă cu un număr mai mic decât unu, ca la epidemia cu R = 0,8. Exemplul clasic este dezintegrarea radioactivă. În loc de timp de dublare se vorbește aici despre timp de înjumătățire, adică timpul în care se dezintegrează jumătate din substanță. Cesiul 137 radioactiv are un timp de înjumătățire de aproximativ 30 de ani. După 30 de ani din el rămâne jumătate, după 60 de ani un sfert, după 90 de ani o optime. Matematic vorbind, el doar se înjumătățește mereu și nu scade niciodată la zero. Substanța este însă alcătuită din atomi și astfel, dintr-un gram de cesiu, se dezintegrează după aproximativ două mii de ani și ultimul dintre ei.

Vezi și

« Anterior: Funcția exponențială

Următor: Funcții trigonometrice »