Εκθετική αύξηση

Ένας παλιός θρύλος λέει ότι ο εφευρέτης του σκακιού ζήτησε από τον βασιλιά μια μετριοπαθή αμοιβή: έναν κόκκο ρύζι στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, δύο στο δεύτερο, τέσσερις στο τρίτο και σε κάθε επόμενο τετράγωνο διπλάσιους από το προηγούμενο. Ο βασιλιάς γέλασε, λέει, με το πόσο λίγα ζητούσε ο σοφός, και πρόσταξε να φέρουν έναν σάκο ρύζι. Όμως γέλασε πολύ νωρίς.

$Στην πρώτη γραμμή της σκακιέρας υπάρχουν 1, 2, 4, … μέχρι 128 κόκκοι, στο τελευταίο τετράγωνο 2^{63}$

Στο πρώτο τετράγωνο υπάρχει 1 κόκκος, δηλαδή 2⁰. Στο δεύτερο 2¹ = 2, στο τρίτο 2² = 4, στο τέταρτο 2³ = 8. Ο εκθέτης είναι κατά ένα μικρότερος από τον αριθμό του τετραγώνου, οπότε στο τελευταίο, 64ο τετράγωνο βρίσκονται

$2^{63} = 9.223 .372 .036 .854 .775 .808$

κόκκοι. Αυτό είναι πάνω από 9 εκατομμύρια τρισεκατομμύρια. Και όμως αυτό είναι μόνο το τελευταίο τετράγωνο, ενώ εμάς μας ενδιαφέρει ολόκληρη η σκακιέρα. Αν προσθέσουμε όλα τα τετράγωνα, παίρνουμε

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{63} = 2^{64} - 1,$

δηλαδή ακριβώς 18.446.744.073.709.551.615 κόκκους.

Γιατί ακριβώς 2⁶⁴ − 1; Έλεγξέ το στα πρώτα τετράγωνα: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Το άθροισμα είναι κάθε φορά κατά ένα μικρότερο από τον αριθμό των κόκκων στο επόμενο τετράγωνο.

Ένας κόκκος αποφλοιωμένου ρυζιού ζυγίζει περίπου 20 χιλιοστόγραμμα, άρα χίλιοι κόκκοι ζυγίζουν περίπου 20 γραμμάρια. Ας υπολογίσουμε πόσο θα ζύγιζε ολόκληρη η σκακιέρα:

$(2^{64} - 1) \cdot 20 mg \approx 369.000 .000 .000 t$

Ολόκληρη η σκακιέρα θα ζύγιζε περίπου 369 δισεκατομμύρια τόνους ρύζι. Ολόκληρος ο κόσμος, αντίθετα, καλλιεργεί σε ένα χρόνο περίπου 540 εκατομμύρια τόνους αποφλοιωμένου ρυζιού. Για πόσα χρόνια παγκόσμιας συγκομιδής θα έφτανε; Το πηλίκο των δύο αριθμών:

$\frac{369.000 .000 .000}{540.000 .000} \approx 683$

Ο βασιλιάς θα έπρεπε να παραδώσει στον εφευρέτη όλο το ρύζι που συγκομίζει η ανθρωπότητα σε πάνω από εξακόσια χρόνια. Το πιο ενδιαφέρον είναι πόσο αθώο φαίνεται για πολύ ώρα: ολόκληρο το πρώτο μισό της σκακιέρας, 32 τετράγωνα, δίνει μαζί 2³² − 1, δηλαδή περίπου 4,3 δισεκατομμύρια κόκκους. Αυτό είναι γύρω στους 86 τόνους, λίγα φορτηγά. Τα υπόλοιπα ρίχνονται μόλις στο δεύτερο μισό της σκακιέρας.

Πρόσθεση απέναντι στον πολλαπλασιασμό

Αν κάτι αυξάνεται έτσι ώστε σε κάθε βήμα να προστίθεται ο ίδιος αριθμός, μιλάμε για γραμμική αύξηση. Αν αντίθετα σε κάθε βήμα πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό, έχουμε εκθετική αύξηση. Στη σκακιέρα ήταν πολλαπλασιασμός με το δύο.

Οι γονείς προσφέρουν στον Γιάννη δύο επιλογές για να του αυξήσουν το χαρτζιλίκι. Τώρα παίρνει 300 € τον μήνα και είτε θα του το αυξάνουν κάθε μήνα κατά 100 €, είτε κατά 10%. Εκατό ευρώ ή μόνο δέκα τοις εκατό των τριακοσίων, δηλαδή τριάντα; Η επιλογή φαίνεται ξεκάθαρη.

Τον πρώτο μήνα όντως έτσι είναι. Με την πρόσθεση ο Γιάννης παίρνει 300 + 100 = 400 €, με τον πολλαπλασιασμό 300 · 1,1 = 330 €. Σε μισό χρόνο η πρόσθεση δίνει 900 € και ο πολλαπλασιασμός περίπου 531 €. Το δέκα τοις εκατό όμως υπολογίζεται πάνω σε ένα ολοένα μεγαλύτερο ποσό, οπότε οι αυξήσεις μεγαλώνουν, ενώ το εκατοστάρικο μένει εκατοστάρικο. Τον 23ο μήνα ο πολλαπλασιασμός προσπερνά την πρόσθεση και από τότε απλώς απομακρύνεται από αυτήν: μετά από τρία χρόνια ο Γιάννης θα έπαιρνε με την πρόσθεση 3.900 €, με τον πολλαπλασιασμό πάνω από 9.200 €. Και μετά από τέσσερα χρόνια 5.100 € απέναντι σε περίπου 29.100 € τον μήνα.

Χαρτζιλίκι ανά μήνα t: με μπλε +100 € τον μήνα, με κόκκινο +10% τον μήνα

Η μπλε ευθεία προηγείται για λίγο, όμως η κόκκινη καμπύλη ανεβαίνει ολοένα πιο απότομα. Αυτό ισχύει γενικά: η εκθετική αύξηση νωρίτερα ή αργότερα προσπερνά οποιαδήποτε γραμμική, το ζήτημα είναι μόνο πότε.

Ολόκληρη η εκθετική αύξηση χωράει σε έναν τύπο

$N = N_{0} \cdot q^{t},$

όπου N₀ είναι η αρχική τιμή, q ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε σε κάθε περίοδο και t ο αριθμός των περιόδων που έχουν περάσει. Στην περίπτωση του Γιάννη είναι N₀ = 300 και q = 1,1, επειδή το να προσθέσουμε 10% σημαίνει να πολλαπλασιάσουμε με 1,1. Μετά από 36 μήνες παίρνουμε

$N = 300 \cdot 1, 1^{36} \approx 9.274 € .$

Στη σκακιέρα είναι N₀ = 1 και q = 2. Η μεταβλητή t βρίσκεται στον εκθέτη, άρα πρόκειται για εκθετική συνάρτηση. Εκεί θα βρεις και βακτήρια που διχοτομούνται.

Σε πόσο χρόνο διπλασιάζεται;

Στην εκθετική αύξηση είναι χρήσιμο να ρωτάμε σε πόσο χρόνο διπλασιάζεται η τιμή. Αυτός ο χρόνος διπλασιασμού δεν αλλάζει, όποτε κι αν ξεκινήσουμε. Αν κάτι διπλασιάζεται σε δέκα χρόνια, σε άλλα δέκα χρόνια διπλασιάζεται ξανά και σε είκοσι χρόνια είναι τετραπλάσιο.

Για μια εκτίμηση βοηθά ένας απλός κανόνας, ο κανόνας του 70: αν κάτι αυξάνεται κατά p τοις εκατό ανά περίοδο, διπλασιάζεται περίπου σε

$\frac{70}{p}$

περιόδους. Αν οι τιμές στα καταστήματα αυξάνονται κάθε χρόνο κατά 7%, διπλασιάζονται περίπου σε 70:7 = 10 χρόνια. Ένα σάντουιτς που σήμερα κοστίζει 4 €, σε δέκα χρόνια θα κόστιζε σχεδόν 8. Τα χρήματα που έχουμε καταθέσει με τόκο 3% τον χρόνο, αντίθετα, διπλασιάζονται σε περίπου 70:3 ≈ 23 χρόνια. Οι τόκοι υπολογίζονται και πάνω στους προηγούμενους τόκους, και γι' αυτό πρόκειται για ανατοκισμό, δηλαδή πάλι για εκθετική αύξηση.

Γιατί ακριβώς εβδομήντα; Τον ακριβή χρόνο διπλασιασμού τον βρίσκουμε με τη βοήθεια του λογαρίθμου. Ψάχνουμε το t που λύνει την εκθετική εξίσωση

$1, 07^{t} = 2.$

Λογαριθμίζουμε την εξίσωση, οπότε ο εκθέτης πέφτει μπροστά από τον λογάριθμο:

$t \cdot \log 1, 07 = \log 2$

Τώρα αρκεί να διαιρέσουμε:

$t = \frac{\log 2}{\log 1, 07} \approx \frac{0,301}{0,029 4} \approx 10, 2$

Οι τιμές λοιπόν θα διπλασιάζονταν σε λίγο λιγότερο από δέκα χρόνια και τρεις μήνες, και ο κανόνας του 70 βγήκε σχεδόν ακριβής. Το εβδομήντα προκύπτει από το ότι το πηλίκο δύο λογαρίθμων είναι το ίδιο, όποια βάση λογαρίθμου κι αν πάρουμε. Με τον φυσικό λογάριθμο ln και γενική αύξηση κατά p τοις εκατό παίρνουμε

$t = \frac{\ln 2}{\ln (1 + \frac{p}{100})} \approx \frac{0,693}{\frac{p}{100}} = \frac{69, 3}{p},$

επειδή για μικρά ποσοστά το $\ln (1 + \frac{p}{100})$ είναι περίπου $\frac{p}{100}$ . Αντί για 69,3 παίρνουμε 70, επειδή διαιρείται πιο εύκολα. Ο κανόνας λειτουργεί λοιπόν καλά για λίγες μονάδες τοις εκατό, ενώ για δεκάδες τοις εκατό αρχίζει να αποκλίνει λίγο.

Νούφαρα σε μια λίμνη

Πριν διαβάσεις παρακάτω, δοκίμασε να λύσεις μόνος σου αυτό το αίνιγμα. Σε μια λίμνη φυτρώνουν νούφαρα και κάθε μέρα είναι διπλάσια από την προηγούμενη. Σε 30 μέρες καλύπτουν ολόκληρη τη λίμνη. Ποια μέρα ήταν καλυμμένη η μισή λίμνη;

Η πρώτη απάντηση που έρχεται στο μυαλό είναι η δέκατη πέμπτη μέρα, αφού το δεκαπέντε είναι το μισό του τριάντα. Όμως ο αριθμός των νούφαρων διπλασιάζεται κάθε μέρα, οπότε αν την 30ή μέρα είναι καλυμμένη ολόκληρη η λίμνη, την προηγούμενη μέρα έπρεπε να είναι καλυμμένη η μισή. Η μισή λίμνη ήταν κάτω από νούφαρα την 29η μέρα.

Νούφαρα σε μια λίμνη τις μέρες 26 έως 30

Αν πάμε ακόμη πιο πίσω στον χρόνο: την 28η μέρα ήταν καλυμμένο το ένα τέταρτο, την 27η το ένα όγδοο, την 26η το ένα δέκατο έκτο, την 25η μόλις περίπου το 3% της επιφάνειας. Όποιος πήγαινε να δει τη λίμνη την 25η μέρα, θα έβλεπε σχεδόν καθαρό νερό και θα συμπέραινε ότι υπάρχει άφθονος χρόνος. Και σε μόλις πέντε μέρες η λίμνη γεμίζει ολόκληρη.

Αυτό ακριβώς είναι το ύπουλο στην εκθετική αύξηση. Τον περισσότερο καιρό φαίνεται αθώα και, όταν πια φαίνεται με γυμνό μάτι, απομένουν μόνο λίγοι διπλασιασμοί μέχρι το τέλος.

Επιδημία

Με τον ίδιο ρυθμό μπορεί να εξαπλωθεί και μια ασθένεια. Ας πούμε ότι σε μια πόλη υπάρχουν σήμερα 100 μολυσμένοι και ο αριθμός των κρουσμάτων διπλασιάζεται κάθε τρεις μέρες. Σε 30 μέρες διπλασιάζεται δέκα φορές:

$100 \cdot 2^{10} = 100 \cdot 1.024 = 102.400$

Από εκατό ασθενείς μέσα σε ένα μήνα γίνονται πάνω από εκατό χιλιάδες. Γι' αυτό οι επιδημιολόγοι πιέζουν για μέτρα τη στιγμή που οι αριθμοί είναι ακόμη μικροί και στους ανθρώπους φαίνεται ότι δεν συμβαίνει τίποτα. Βρισκόμαστε, βλέπεις, στη λίμνη την 25η μέρα.

Το πόσο γρήγορα εξαπλώνεται η ασθένεια περιγράφει ο αριθμός αναπαραγωγής R. Απλοποιημένα: πόσους άλλους ανθρώπους κατά μέσο όρο μολύνει ένας ασθενής. Αν R = 2, ο καθένας μολύνει δύο άλλους, αυτοί οι δύο μολύνουν τέσσερις και κάθε «γενιά» ασθενών είναι διπλάσια σε αριθμό. Αν μία γενιά διαρκεί περίπου τρεις μέρες, επιστρέφουμε ακριβώς στο παράδειγμα παραπάνω. Όταν καταφέρουμε να κατεβάσουμε το R κάτω από το ένα, για παράδειγμα στο 0,8, ο αριθμός των ασθενών σε κάθε γενιά πολλαπλασιάζεται με αριθμό μικρότερο του ένα και η επιδημία εξασθενεί. Από 100 μολυσμένους, στη δέκατη γενιά μολύνονται πλέον μόνο περίπου

$100 \cdot 0, 8^{10} \approx 11$

άνθρωποι.

Η διαφορά ανάμεσα στο R = 0,8 και στο R = 2 φαίνεται μικρή. Μετά από δέκα γενιές όμως γίνεται χάσμα ανάμεσα σε έντεκα και εκατόν δύο χιλιάδες ασθενείς.

Δίπλωσε ένα χαρτί σαράντα δύο φορές

Πάρε ένα φύλλο χαρτί, πάχους περίπου ενός δεκάτου του χιλιοστού. Δίπλωσέ το στη μέση και έχεις δύο στρώσεις, δηλαδή δύο δέκατα του χιλιοστού. Δίπλωσέ το ξανά και έχεις τέσσερις στρώσεις. Κάθε δίπλωμα διπλασιάζει το πάχος. Πόσο χοντρό θα ήταν το χαρτί μετά από 42 διπλώματα;

$0, 1 mm \cdot 2^{42} \approx 440.000 .000 .000 mm = 440.000 km$

Η Σελήνη απέχει από τη Γη κατά μέσο όρο περίπου 384.000 km. Ένα χαρτί διπλωμένο σαράντα δύο φορές θα την έφτανε και θα την ξεπερνούσε κιόλας κατά ένα κομμάτι.

Δεν χρειάζεται να το δοκιμάσεις, άλλωστε περισσότερες από επτά φορές ένα φύλλο χαρτί με τα χέρια δεν διπλώνεται. Μετά από επτά διπλώματα έχει 128 στρώσεις και πάχος λίγο λιγότερο από 1,3 cm, ενώ γίνεται όλο και μικρότερο και πιο σκληρό. Το ρεκόρ είναι δεκατρία διπλώματα και χρειάστηκε για αυτό μια λωρίδα χαρτιού τουαλέτας μήκους περίπου 16 km.

Γιατί αυτός ο αριθμός μας φαίνεται παράλογος; Η διαίσθησή μας τα πάει καλά με την πρόσθεση. Όταν φανταζόμαστε 42 βήματα, φανταζόμαστε 42 ίδια βήματα το ένα δίπλα στο άλλο. Εδώ όμως κάθε βήμα προσθέτει όσο είναι ολόκληρο το πάχος του χαρτιού μέχρι εκείνη τη στιγμή. Μετά από δέκα διπλώματα το χαρτί έχει πάχος περίπου 10 cm, μετά από είκοσι πάνω από 100 m και μετά από τριάντα φτάνει ήδη τα 107 km ύψος. Και τα τελευταία δώδεκα διπλώματα, που φέρνουν το χαρτί στη Σελήνη, είναι απλώς άλλοι δώδεκα διπλασιασμοί.

Δεν θα διαρκέσει για πάντα

Αν τα νούφαρα πολλαπλασιάζονταν με τον ίδιο ρυθμό και παραπέρα, την 31η μέρα θα κάλυπταν δύο λίμνες, την 40ή μέρα χίλιες λίμνες. Φυσικά δεν λειτουργεί έτσι. Η λίμνη έχει περιορισμένη επιφάνεια, τα βακτήρια έχουν περιορισμένη ποσότητα τροφής και η ασθένεια δεν έχει ποιον να μολύνει, όταν οι περισσότεροι άνθρωποι την έχουν ήδη περάσει. Στη φύση η εκθετική αύξηση διαρκεί μόνο μέχρι τη στιγμή που αρχίζει να τελειώνει ο χώρος ή οι πόροι.

Τότε η αύξηση επιβραδύνεται και η τιμή πλησιάζει ένα ανώτατο όριο, που μπορεί να συντηρήσει το περιβάλλον. Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας αύξησης μοιάζει με επιμηκυμένο γράμμα S, γι' αυτό λέγεται καμπύλη S, επιστημονικά λογιστική αύξηση.

Εκθετική αύξηση (με κόκκινο) και λογιστική αύξηση (με πράσινο) με ανώτατο όριο K

Στην αρχή οι δύο καμπύλες σχεδόν δεν διαφέρουν. Υπάρχουν αρκετοί πόροι, οπότε τίποτα δεν φρενάρει και η καμπύλη S αυξάνεται εκθετικά. Ήδη πριν από το μισό της διαδρομής αρχίζει να αποκλίνει από την εκθετική, στα μισά του δρόμου προς το όριο K αυξάνεται πιο γρήγορα από ποτέ και μετά κάμπτεται και πλησιάζει το όριο μόνο αργά. Το πρόβλημα είναι ότι από το αρχικό κομμάτι της γραφικής παράστασης δεν μπορείς να καταλάβεις αν κοιτάς εκθετική ή καμπύλη S. Αυτό φαίνεται μόνο αργότερα.

Σύμφωνα με το ίδιο πρότυπο μπορεί και μια τιμή να μειώνεται. Αρκεί η τιμή σε κάθε περίοδο να πολλαπλασιάζεται με αριθμό μικρότερο του ένα, όπως στην επιδημία με R = 0,8. Το κλασικό παράδειγμα των σχολικών βιβλίων είναι η ραδιενεργή διάσπαση. Αντί για χρόνο διπλασιασμού μιλάμε εδώ για χρόνο ημιζωής, δηλαδή για τον χρόνο στον οποίο διασπάται το μισό της ουσίας. Το ραδιενεργό καίσιο 137 έχει χρόνο ημιζωής περίπου 30 χρόνια. Μετά από 30 χρόνια απομένει το μισό του, μετά από 60 χρόνια το ένα τέταρτο, μετά από 90 χρόνια το ένα όγδοο. Μαθηματικά μιλώντας, η ποσότητα απλώς υποδιπλασιάζεται συνεχώς και δεν πέφτει ποτέ στο μηδέν. Η ουσία όμως αποτελείται από άτομα, και έτσι από ένα γραμμάριο καισίου μετά από περίπου δύο χιλιάδες χρόνια διασπάται και το τελευταίο από αυτά.

Δες επίσης

« Προηγούμενο: Εκθετική συνάρτηση

Επόμενο: Τριγωνομετρικές συναρτήσεις »