Показникове зростання

Стара легенда розповідає, що винахідник шахів попросив правителя про скромну винагороду: на перше поле шахівниці одне зернятко рису, на друге два, на третє чотири, а на кожне наступне поле вдвічі більше, ніж на попереднє. Правитель нібито розсміявся, як мало хоче мудрець, і наказав принести мішок рису. Але сміявся він зарано.

На першому полі лежить 1 зернятко, тобто 2⁰. На другому 2¹ = 2, на третьому 2² = 4, на четвертому 2³ = 8. Показник степеня на одиницю менший за номер поля, тому на останньому, 64-му полі лежить

$$2^{63}=9223372036854775808$$

зернят. Це понад дев'ять квінтильйонів. Проте це лише останнє поле, а нас цікавить уся шахівниця. Додавши всі поля, отримаємо

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

тобто рівно 18 446 744 073 709 551 615 зернят.

Чому саме 2⁶⁴ − 1? Перевір на перших полях: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Сума щоразу на одиницю менша за кількість зернят на наступному полі.

Одне зернятко лущеного рису важить приблизно 20 міліграмів, отже, тисяча зернят — близько 20 грамів. Обчислимо, скільки важила б уся шахівниця:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{мг}\approx 369000000000\text{т}$$

Уся шахівниця важила б близько 369 мільярдів тонн рису. Увесь світ натомість вирощує за рік приблизно 540 мільйонів тонн лущеного рису. На скільки років світових урожаїв цього вистачило б? Частка обох чисел:

$$\frac{369000000000}{540000000}\approx 683$$

Правитель мав би віддати винахіднику весь рис, який людство збирає більш ніж за шістсот років. Найцікавіше, як довго все це виглядає невинно: уся перша половина шахівниці, 32 поля, дає разом 2³² − 1, тобто близько 4,3 мільярда зернят. Це приблизно 86 тонн, кілька вантажівок. Решту насипають лише на другу половину шахівниці.

Додавання проти множення

Якщо щось зростає так, що на кожному кроці до нього додається те саме число, говоримо про лінійне зростання. Якщо ж на кожному кроці воно множиться на те саме число, це показникове зростання. На шахівниці було множення на два.

Батьки пропонують Андрієві два способи збільшувати кишенькові гроші. Зараз він отримує 300 грн на місяць, і йому або щомісяця збільшують суму на 100 грн, або на 10 %. Сто гривень чи лише десять відсотків від трьохсот, тобто тридцять? Вибір здається очевидним.

У перший місяць так воно й є. При додаванні Андрій отримає 300 + 100 = 400 грн, при множенні 300 · 1,1 = 330 грн. Через пів року додавання дає 900 грн, а множення приблизно 531 грн. Але десять відсотків рахуються від дедалі більшої суми, тому прирости збільшуються, а сотня лишається сотнею. На 23-й місяць множення обганяє додавання і відтоді тільки віддаляється від нього: через три роки Андрій при додаванні отримував би 3 900 грн, а при множенні понад 9 200 грн. А через чотири роки 5 100 грн проти приблизно 29 100 грн на місяць.

Синя пряма якийсь час лідирує, але червона крива здіймається дедалі стрімкіше. Це правило загальне: показникове зростання рано чи пізно випередить будь-яке лінійне, питання лише коли.

Усе показникове зростання вміщається в одну формулу

$$N=N_0\cdot q^t,$$

де N₀ — початкове значення, q — число, на яке множиться величина за один період, а t — кількість періодів, що минули. В Андрія N₀ = 300 і q = 1,1, адже збільшити на 10 % означає помножити на 1,1. Через 36 місяців отримаємо

$$N=300\cdot 1,1^{36}\approx 9274\text{грн}.$$

На шахівниці N₀ = 1 і q = 2. Змінна t стоїть у показнику степеня, тож це показникова функція. Там ти знайдеш і бактерії, що діляться навпіл.

За який час це подвоїться?

Під час показникового зростання зручно запитувати, за який час значення подвоюється. Цей час подвоєння не змінюється, хоч би з якого моменту ми почали. Якщо щось подвоюється за десять років, то за наступні десять років воно подвоїться знову, а за двадцять років стане вчетверо більшим.

Для оцінки є проста підказка, правило 70: якщо щось зростає на p відсотків за період, то воно подвоюється приблизно за

$$\frac{70}{p}$$

періодів. Якщо ціни в магазині щороку зростають на 7 %, вони подвояться приблизно за 70:7 = 10 років. Булочка, яка сьогодні коштує 4 гривні, за десять років коштувала б майже вісім. Гроші, покладені під 3 % річних, навпаки, подвояться приблизно за 70:3 ≈ 23 роки. Адже відсотки нараховуються і на попередні відсотки, тому це складні відсотки, тобто знову показникове зростання.

Чому саме сімдесят? Точний час подвоєння знайдемо за допомогою логарифма. Шукаємо t, яке розв'язує показникове рівняння

$$1,{07}^t=2.$$

Прологарифмуємо рівняння, і показник степеня опиниться перед логарифмом:

$$t\cdot \lg 1,07=\lg 2$$

Тепер достатньо поділити:

$$t=\frac{\lg 2}{\lg 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Отже, ціни подвоїлися б трохи менш ніж за десять з чвертю років, правило 70 влучило майже точно. Сімдесят виникає з того, що частка двох логарифмів однакова, хоч би за якою основою ми брали логарифм. З натуральним логарифмом ln і загальним зростанням на p відсотків отримаємо

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

бо для малих відсотків $\ln (1+\frac{p}{100})$ приблизно дорівнює $\frac{p}{100}$. Замість 69,3 беруть 70, бо на нього легше ділити. Правило добре працює для кількох відсотків, а для десятків відсотків уже трохи помиляється.

Латаття на ставку

Перш ніж читати далі, спробуй розгадати цю головоломку сам. На ставку росте латаття, і щодня його вдвічі більше, ніж напередодні. За 30 днів воно вкриває весь ставок. Якого дня була вкрита половина ставка?

Напрошується відповідь «п'ятнадцятого дня», адже п'ятнадцять — це половина від тридцяти. Але кількість латаття щодня подвоюється, тож якщо 30-го дня вкритий увесь ставок, то напередодні він мав бути вкритий наполовину. Половина ставка була під лататтям 29-го дня.

Якщо піти в часі ще далі назад: 28-го дня була вкрита чверть, 27-го восьма частина, 26-го шістнадцята, 25-го лише близько 3 % поверхні. Хто прийшов би на ставок 25-го дня, побачив би майже чисту воду й вирішив би, що часу вдосталь. А вже за п'ять днів ставок повністю заросте.

Саме в цьому підступність показникового зростання. Більшість часу воно здається невинним, а коли його вже видно неозброєним оком, до кінця лишається кілька подвоєнь.

Епідемія

Так само швидко може поширюватися й хвороба. Припустімо, що в місті сьогодні 100 хворих, а кількість випадків подвоюється кожні три дні. За 30 днів вона подвоїться десять разів:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

Зі ста хворих за місяць стає понад сто тисяч. Тому епідеміологи наполягають на заходах у той момент, коли числа ще малі й людям здається, що нічого не відбувається. Адже ми на ставку 25-го дня.

Те, як швидко поширюється хвороба, описує репродуктивне число R. Спрощено: скількох інших людей у середньому заражає один хворий. Якщо R = 2, кожен заражає двох інших, ці двоє заражають чотирьох, і кожне «покоління» хворих удвічі чисельніше. Якщо одне покоління триває приблизно три дні, ми повертаємося точно до прикладу вище. Коли вдається знизити R нижче одиниці, наприклад до 0,8, кількість хворих у кожному поколінні множиться на число, менше за одиницю, і епідемія слабшає. Зі 100 заражених у десятому поколінні заразиться вже лише приблизно

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

людей.

Різниця між R = 0,8 і R = 2 здається малою. Але після десяти поколінь це прірва між одинадцятьма та ста двома тисячами хворих.

Склади папір сорок два рази

Візьми аркуш паперу завтовшки приблизно одну десяту міліметра. Склади його навпіл, і маєш два шари, тобто дві десяті міліметра. Склади ще раз, і маєш чотири шари. Кожне складання подвоює товщину. Яким був би завтовшки папір після 42 складань?

$$0,1\text{мм}\cdot 2^{42}\approx 440000000000\text{мм}=440000\text{км}$$

Місяць віддалений від Землі в середньому приблизно на 384 000 км. Папір, складений сорок два рази, дотягнувся б до нього й ще трохи б виступав.

Пробувати це не обов'язково, адже більш ніж сім разів аркуш паперу руками однаково не складеш. Після семи складань він має 128 шарів і завтовшки трохи менш ніж 1,3 см, до того ж стає дедалі меншим і твердішим. Рекорд — тринадцять складань, і для нього знадобилася смуга туалетного паперу завдовжки приблизно 16 км.

Чому це число здається нам абсурдним? Інтуїція дає раду з додаванням. Коли ми уявляємо 42 кроки, то уявляємо 42 однакові кроки поруч. Але тут кожен крок додає стільки, скільки становить уся досі накопичена товщина паперу. Після десяти складань папір завтовшки близько 10 см, після двадцяти понад 100 м, а після тридцяти сягає вже 107 км угору. А останні дванадцять складань, якими папір досягає Місяця, — це просто ще дванадцять подвоєнь.

Вічно це не триватиме

Якби латаття розмножувалося тим самим темпом далі, на 31-й день воно вкрило б два ставки, на 40-й день тисячу ставків. Звісно, так не буває. Ставок має обмежену площу, бактерії мають обмежену кількість їжі, а хвороба не має кого заражати, коли більшість людей уже перехворіла. У природі показникове зростання триває лише доти, доки не почне бракувати місця чи ресурсів.

Тоді зростання уповільнюється, і значення наближається до стелі, яку може прогодувати середовище. Графік такого зростання схожий на розтягнуту літеру S, тому його називають S-подібною кривою, а фахово логістичним зростанням.

Спочатку обидві криві майже не відрізняються. Ресурсів достатньо, тому ніщо не гальмує, і S-подібна крива зростає показниково. Ще до середини шляху вона починає відхилятися від показникової, посередині до стелі K зростає найшвидше, а потім вигинається й до стелі наближається лише повільно. Проблема в тому, що за початковою частиною графіка не можна визначити, на показникову чи на S-подібну криву ти дивишся. Це з'ясується лише згодом.

За тим самим зразком значення може й спадати. Достатньо, щоб у кожному періоді значення множилося на число, менше за одиницю, як в епідемії з R = 0,8. Підручниковий приклад — радіоактивний розпад. Замість часу подвоєння тут говорять про період напіврозпаду, тобто час, за який розпадається половина речовини. Радіоактивний цезій-137 має період напіврозпаду приблизно 30 років. Через 30 років від нього лишається половина, через 60 років чверть, через 90 років восьма частина. З математичного погляду він лише ділиться навпіл і знову навпіл і ніколи не спадає до нуля. Але речовина складається з атомів, тож з грама цезію приблизно за дві тисячі років розпадеться навіть останній із них.

Дивись також

• Показникова функція
• Логарифми
• Складні відсотки