Wzrost wykładniczy

Stara legenda opowiada, że wynalazca szachów poprosił władcę o skromną nagrodę: na pierwsze pole szachownicy jedno ziarnko ryżu, na drugie dwa, na trzecie cztery, a na każde kolejne pole dwa razy tyle, ile na poprzednie. Władca podobno roześmiał się, że mędrzec chce tak niewiele, i kazał przynieść worek ryżu. Śmiał się jednak przedwcześnie.

Na pierwszym polu jest 1 ziarnko, czyli 2⁰. Na drugim 2¹ = 2, na trzecim 2² = 4, na czwartym 2³ = 8. Wykładnik jest o jeden mniejszy niż numer pola, więc na ostatnim, 64. polu leży

$$2^{63}=9223372036854775808$$

ziarenek. To ponad dziewięć trylionów. Ale to tylko ostatnie pole, a nas interesuje cała szachownica. Gdy zsumujemy wszystkie pola, dostaniemy

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

czyli dokładnie 18 446 744 073 709 551 615 ziarenek.

Dlaczego akurat 2⁶⁴ − 1? Sprawdź to na pierwszych polach: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Suma jest za każdym razem o jeden mniejsza niż liczba ziarenek na następnym polu.

Jedno ziarnko łuskanego ryżu waży mniej więcej 20 miligramów, więc tysiąc ziarenek to około 20 gramów. Policzmy, ile ważyłaby cała szachownica:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369000000000\text{t}$$

Cała szachownica ważyłaby około 369 miliardów ton ryżu. Cały świat tymczasem uprawia rocznie około 540 milionów ton łuskanego ryżu. Na ile lat światowych zbiorów by to wystarczyło? Iloraz obu liczb:

$$\frac{369000000000}{540000000}\approx 683$$

Władca musiałby oddać wynalazcy cały ryż, który ludzkość zbiera przez ponad sześćset lat. Najciekawsze jest to, jak długo wszystko wygląda niewinnie: cała pierwsza połowa szachownicy, czyli 32 pola, daje razem 2³² − 1, czyli około 4,3 miliarda ziarenek. To około 86 ton, kilka ciężarówek. Reszta zostaje wysypana dopiero na drugą połowę szachownicy.

Dodawanie kontra mnożenie

Jeśli coś rośnie tak, że w każdym kroku dodajemy tę samą liczbę, mówimy o wzroście liniowym. Jeśli zaś w każdym kroku mnożymy przez tę samą liczbę, jest to wzrost wykładniczy. Na szachownicy było to mnożenie przez dwa.

Rodzice proponują Jasiowi dwie możliwości podwyższania kieszonkowego. Teraz dostaje 300 zł miesięcznie i każdego miesiąca mogą mu je podnieść albo o 100 zł, albo o 10%. Sto złotych czy tylko dziesięć procent z trzystu, czyli trzydzieści? Wybór wydaje się oczywisty.

W pierwszym miesiącu faktycznie tak jest. Przy dodawaniu Jaś dostanie 300 + 100 = 400 zł, przy mnożeniu 300 · 1,1 = 330 zł. Po pół roku dodawanie daje 900 zł, a mnożenie około 531 zł. Dziesięć procent liczy się jednak z coraz większej kwoty, więc przyrosty rosną, a setka zostaje setką. W 23. miesiącu mnożenie wyprzedza dodawanie i od tej chwili tylko się od niego oddala: po trzech latach Jaś dostawałby przy dodawaniu 3900 zł, a przy mnożeniu ponad 9200 zł. A po czterech latach 5100 zł wobec około 29 100 zł miesięcznie.

Niebieska prosta przez chwilę prowadzi, ale czerwona krzywa wznosi się coraz stromiej. To reguła ogólna: wzrost wykładniczy prędzej czy później wyprzedzi każdy liniowy, pytanie tylko kiedy.

Cały wzrost wykładniczy mieści się w jednym wzorze

$$N=N_0\cdot q^t,$$

gdzie N₀ jest wartością początkową, q jest liczbą, przez którą mnożymy w każdym okresie, a t jest liczbą okresów, które upłynęły. U Jasia N₀ = 300 i q = 1,1, bo dodać 10% znaczy pomnożyć przez 1,1. Po 36 miesiącach dostajemy

$$N=300\cdot 1,1^{36}\approx 9274\text{zł}.$$

Na szachownicy N₀ = 1 i q = 2. Zmienna t stoi w wykładniku, więc mamy do czynienia z funkcją wykładniczą. Znajdziesz tam też bakterie, które dzielą się na pół.

Po jakim czasie to się podwoi?

Przy wzroście wykładniczym wygodnie jest zapytać, po jakim czasie wartość się podwoi. Ten czas podwojenia się nie zmienia, niezależnie od tego, kiedy zaczniemy. Jeśli coś podwaja się w ciągu dziesięciu lat, to po kolejnych dziesięciu latach podwoi się znowu, a po dwudziestu latach będzie tego cztery razy tyle.

Do oszacowania służy prosty sposób, reguła 70: jeśli coś rośnie o p procent na okres, podwoi się mniej więcej po

$$\frac{70}{p}$$

okresach. Jeśli ceny w sklepie rosną co roku o 7%, podwoją się po około 70:7 = 10 latach. Bułka, która dziś kosztuje 4 złote, za dziesięć lat kosztowałaby prawie osiem. Pieniądze ulokowane na 3% rocznie podwoją się natomiast po około 70:3 ≈ 23 latach. Odsetki liczą się bowiem także od tych wcześniejszych, więc jest to procent składany, czyli znowu wzrost wykładniczy.

Skąd akurat siedemdziesiąt? Dokładny czas podwojenia znajdziemy za pomocą logarytmu. Szukamy t, które rozwiązuje równanie wykładnicze

$$1,{07}^t=2.$$

Logarytmujemy równanie, dzięki czemu wykładnik przechodzi przed logarytm:

$$t\cdot \log 1,07=\log 2$$

Teraz wystarczy podzielić:

$$t=\frac{\log 2}{\log 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Ceny podwoiłyby się więc po niecałych dziesięciu i jednej czwartej roku, a reguła 70 trafiła prawie dokładnie. Siedemdziesiątka bierze się stąd, że iloraz dwóch logarytmów jest taki sam, niezależnie od podstawy logarytmu. Z logarytmem naturalnym ln i ogólnym wzrostem o p procent dostajemy

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

ponieważ dla małych procentów $\ln (1+\frac{p}{100})$ jest w przybliżeniu równy $\frac{p}{100}$. Zamiast 69,3 bierze się 70, bo łatwiej przez nią dzielić. Reguła działa więc dobrze dla kilku procent, a przy kilkudziesięciu procentach już trochę się myli.

Lilie wodne na stawie

Zanim przeczytasz dalej, spróbuj sam rozgryźć tę łamigłówkę. Na stawie rosną lilie wodne i każdego dnia jest ich dwa razy tyle co dzień wcześniej. Po 30 dniach pokrywają cały staw. Którego dnia połowa stawu była pokryta?

Narzuca się odpowiedź: piętnastego dnia, przecież piętnaście to połowa z trzydziestu. Tyle że liczba lilii podwaja się codziennie, więc skoro 30. dnia pokryty jest cały staw, dzień wcześniej musiał być pokryty w połowie. Połowa stawu była pod liliami 29. dnia.

Gdy cofniemy się w czasie jeszcze dalej: 28. dnia pokryta była jedna czwarta, 27. dnia jedna ósma, 26. dnia jedna szesnasta, 25. dnia tylko około 3% powierzchni. Kto poszedłby nad staw 25. dnia, zobaczyłby prawie czystą wodę i uznałby, że czasu jest dużo. A po zaledwie pięciu dniach staw jest zarośnięty cały.

Właśnie to jest zdradliwe we wzroście wykładniczym. Przez większość czasu wygląda niewinnie, a kiedy już widać go gołym okiem, do końca zostaje tylko kilka podwojeń.

Epidemia

W takim samym tempie może szerzyć się choroba. Załóżmy, że w mieście jest dziś 100 zakażonych, a liczba przypadków podwaja się co trzy dni. W ciągu 30 dni podwoi się więc dziesięć razy:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

Ze stu chorych robi się w miesiąc ponad sto tysięcy. Dlatego epidemiolodzy domagają się środków zaradczych wtedy, gdy liczby są jeszcze małe, a ludziom wydaje się, że nic się nie dzieje. Jesteśmy bowiem nad stawem 25. dnia.

To, jak szybko choroba się szerzy, opisuje liczba reprodukcyjna R. W uproszczeniu: ilu kolejnych ludzi średnio zakazi jeden chory. Jeśli R = 2, każdy zakazi dwóch kolejnych, ci dwaj zakażą czterech i każde „pokolenie” chorych jest dwa razy liczniejsze. Jeśli jedno pokolenie trwa mniej więcej trzy dni, wracamy dokładnie do powyższego przykładu. Gdy uda się zmniejszyć R poniżej jedności, na przykład do 0,8, liczba chorych w każdym pokoleniu mnoży się przez liczbę mniejszą niż jeden i epidemia słabnie. Ze 100 zakażonych w dziesiątym pokoleniu zakazi się już tylko około

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

osób.

Różnica między R = 0,8 a R = 2 wydaje się mała. Po dziesięciu pokoleniach jest z niej jednak przepaść między jedenastoma a stu dwoma tysiącami chorych.

Złóż kartkę czterdzieści dwa razy

Weź kartkę papieru grubą na około jedną dziesiątą milimetra. Złóż ją na pół i masz dwie warstwy, czyli dwie dziesiąte milimetra. Złóż ją jeszcze raz i masz cztery warstwy. Każde złożenie podwaja grubość. Jak gruby byłby papier po 42 złożeniach?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440000000000\text{mm}=440000\text{km}$$

Księżyc jest oddalony od Ziemi średnio o około 384 000 km. Papier złożony czterdzieści dwa razy by do niego sięgnął i jeszcze trochę by wystawał.

Nie musisz tego próbować, i tak więcej niż siedem razy kartki rękami nie złożysz. Po siedmiu złożeniach ma 128 warstw i jest gruba na niecałe 1,3 cm, a do tego coraz mniejsza i sztywniejsza. Rekord to trzynaście złożeń i potrzebny był do tego pasek papieru toaletowego długi na około 16 km.

Dlaczego ta liczba wydaje nam się absurdalna? Intuicja radzi sobie z dodawaniem. Kiedy wyobrażamy sobie 42 kroki, wyobrażamy sobie 42 jednakowe kroki obok siebie. Tutaj jednak każdy krok dodaje tyle, ile dotąd wynosi grubość całego papieru. Po dziesięciu złożeniach papier ma około 10 cm grubości, po dwudziestu ponad 100 m, a po trzydziestu sięga już 107 km w górę. A ostatnie dwanaście złożeń, dzięki którym papier dociera do Księżyca, to po prostu kolejne dwanaście podwojeń.

Nie będzie tak wiecznie

Gdyby lilie wodne mnożyły się dalej w tym samym tempie, 31. dnia pokryłyby dwa stawy, a 40. dnia tysiąc stawów. Tak oczywiście nie jest. Staw ma ograniczoną powierzchnię, bakterie mają ograniczoną ilość pożywienia, a choroba nie ma kogo zakażać, gdy większość ludzi już ją przeszła. W przyrodzie wzrost wykładniczy trwa tylko do chwili, gdy zaczyna brakować miejsca lub zasobów.

Wtedy wzrost zwalnia, a wartość zbliża się do pułapu, który środowisko jest w stanie utrzymać. Wykres takiego wzrostu wygląda jak wydłużona litera S, dlatego nazywa się go krzywą S, fachowo wzrostem logistycznym.

Z początku obie krzywe prawie się nie różnią. Zasobów jest dość, więc nic nie hamuje wzrostu, a krzywa S rośnie wykładniczo. Jeszcze przed połową drogi zaczyna odchylać się od funkcji wykładniczej, w połowie drogi do pułapu K rośnie najszybciej, a potem się wygina i do pułapu zbliża się już tylko powoli. Kłopot w tym, że z początkowej części wykresu nie poznasz, czy patrzysz na funkcję wykładniczą, czy na krzywą S. Okaże się to dopiero później.

Według tego samego wzoru wartość może też maleć. Wystarczy, że w każdym okresie mnoży się ją przez liczbę mniejszą niż jeden, jak przy epidemii z R = 0,8. Podręcznikowym przykładem jest rozpad promieniotwórczy. Zamiast czasu podwojenia mówi się tu o okresie półtrwania, czyli o czasie, w którym rozpada się połowa substancji. Promieniotwórczy cez-137 ma okres półtrwania około 30 lat. Po 30 latach zostaje z niego połowa, po 60 latach jedna czwarta, po 90 latach jedna ósma. Matematycznie rzecz biorąc, ilość tylko maleje o połowę i znów o połowę, a do zera nigdy nie spada. Substancja składa się jednak z atomów, więc z grama cezu po mniej więcej dwóch tysiącach lat rozpadnie się nawet ostatni z nich.

Zobacz też

• Funkcja wykładnicza
• Logarytmy
• Procent składany