Üstel Artış

Eski bir efsaneye göre satranç oyununu icat eden kişi hükümdardan mütevazı bir ödül istemiş: satranç tahtasının ilk karesine bir pirinç tanesi, ikinci karesine iki, üçüncü karesine dört, sonraki her kareye de bir önceki karedekinin iki katı kadar tane. Hükümdar bilgenin bu kadar az şey istemesine gülmüş ve bir çuval pirinç getirilmesini emretmiş. Ama erken gülmüş.

İlk karede 1 tane, yani 2⁰ pirinç var. İkinci karede 2¹ = 2, üçüncüde 2² = 4, dördüncüde 2³ = 8. Üs, karenin numarasından bir eksiktir. Bu yüzden son karede, yani 64. karede şu kadar pirinç tanesi bulunur:

$$2^{63}=9.223.372.036.854.775.808$$

Bu, 9 kentilyonun üzerinde bir sayıdır. Ama bu yalnızca son karedeki sayı, bizi ilgilendiren ise tahtanın tamamı. Bütün kareleri toplarsak

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

yani tam olarak 18.446.744.073.709.551.615 pirinç tanesi buluruz.

Peki neden tam olarak 2⁶⁴ − 1? İlk karelerde kendin dene: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Toplam her seferinde bir sonraki karedeki tane sayısından bir eksiktir.

Kabuğu soyulmuş bir pirinç tanesi yaklaşık 20 miligram gelir, yani bin tane yaklaşık 20 gram eder. Bütün satranç tahtasının ne kadar ağır olacağını hesaplayalım:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369.000.000.000\text{t}$$

Bütün tahta yaklaşık 369 milyar ton pirinç çeker. Buna karşılık bütün dünya bir yılda yaklaşık 540 milyon ton kabuğu soyulmuş pirinç yetiştirir. Bu miktar kaç yıllık dünya hasadına yeter? İki sayının bölümüne bakalım:

$$\frac{369.000.000.000}{540.000.000}\approx 683$$

Hükümdarın, insanlığın altı yüz yıldan fazla sürede topladığı bütün pirinci icatçıya vermesi gerekirdi. En ilginç olan, bunun ne kadar uzun süre zararsız görünmesidir: tahtanın ilk yarısı, yani 32 kare, toplam 2³² − 1 eder, yani yaklaşık 4,3 milyar tane. Bu yaklaşık 86 ton eder, birkaç kamyon dolusu. Geri kalanı ancak tahtanın ikinci yarısına dökülür.

Toplama ile Çarpma

Bir şey her adımda hep aynı sayı eklenerek büyüyorsa buna doğrusal artış deriz. Tersine, her adımda hep aynı sayıyla çarpılarak büyüyorsa bu üstel artıştır. Satranç tahtasında her seferinde 2 ile çarpıyorduk.

Ailesi Emre’ye harçlığını artırmak için iki seçenek sunuyor. Emre şu anda ayda 300 TL alıyor ve harçlığı her ay ya 100 TL artırılacak ya da %10 artırılacak. Yüz lira mı, yoksa üç yüzün sadece yüzde onu, yani otuz lira mı? Seçim belli gibi görünüyor.

İlk ayda gerçekten de öyle. Toplamada Emre 300 + 100 = 400 TL alır, çarpmada 300 · 1,1 = 330 TL. Altı ay sonra toplamada 900 TL, çarpmada yaklaşık 531 TL olur. Ancak yüzde on giderek büyüyen bir tutardan hesaplanır, bu yüzden artışlar büyür, yüz lira ise yüz lira olarak kalır. 23. ayda çarpma toplamayı geçer ve o andan itibaren ondan sürekli uzaklaşır: üç yıl sonra Emre toplamada 3.900 TL, çarpmada 9.200 TL’den fazla alırdı. Dört yıl sonra ise ayda 5.100 TL’ye karşılık yaklaşık 29.100 TL olurdu.

Mavi doğru bir süre öndedir, ama kırmızı eğri giderek daha dik yükselir. Bu genel olarak da doğrudur: üstel artış er ya da geç her doğrusal artışı geçer, soru yalnızca ne zaman olduğudur.

Üstel artışın tamamı tek bir formüle sığar:

$$N=N_0\cdot r^t,$$

burada N₀ başlangıç değeri, r değerin bir dönemde çarpıldığı sayı, t ise geçen dönem sayısıdır. Emre’nin örneğinde N₀ = 300 ve r = 1,1’dir, çünkü %10 eklemek 1,1 ile çarpmak demektir. 36 ay sonra şunu elde ederiz:

$$N=300\cdot 1,1^{36}\approx 9.274\text{TL}.$$

Satranç tahtasında N₀ = 1 ve r = 2’dir. t değişkeni üs yerinde durduğu için bu bir üstel fonksiyondur. Orada ikiye bölünerek çoğalan bakterileri de bulabilirsin.

Ne Kadar Sürede İkiye Katlanır?

Üstel artışta, bir değerin ne kadar sürede ikiye katlandığını sormak işe yarar. Bu ikiye katlanma süresi, ne zaman başlarsak başlayalım değişmez. Bir şey on yılda ikiye katlanıyorsa, sonraki on yılda yine ikiye katlanır ve yirmi yıl sonra dört katı olur.

Tahmin için basit bir yöntem var, 70 kuralı: bir şey dönem başına yüzde p artıyorsa, yaklaşık

$$\frac{70}{p}$$

dönemde ikiye katlanır. Marketteki fiyatlar her yıl %7 artıyorsa, yaklaşık 70:7 = 10 yılda ikiye katlanır. Bugün 4 TL olan simit on yıl sonra neredeyse 8 TL olur. Yıllık %3 faizle yatırılan para ise tersine yaklaşık 70:3 ≈ 23 yılda ikiye katlanır. Faiz, önceki faizlere de işletildiği için bu bir bileşik faizdir, yani yine üstel artıştır.

Neden tam olarak yetmiş? Kesin ikiye katlanma süresini logaritma ile buluruz. Üstel denklemi çözen t’yi arıyoruz:

$$1,{07}^t=2.$$

Denklemin her iki tarafının logaritmasını alırız, böylece üs logaritmanın önüne iner:

$$t\cdot \log 1,07=\log 2$$

Şimdi yalnızca bölmek kalıyor:

$$t=\frac{\log 2}{\log 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Yani fiyatlar on yıl üç aydan biraz kısa sürede ikiye katlanır, 70 kuralı neredeyse tam isabet etti. Yetmiş sayısı, iki logaritmanın bölümünün hangi tabanda logaritma alırsak alalım aynı olmasından gelir. Doğal logaritma ln ile ve yüzde p büyüme için genel olarak şunu buluruz:

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

çünkü küçük yüzdeler için $\ln (1+\frac{p}{100})$ yaklaşık $\frac{p}{100}$’e eşittir. 69,3 yerine 70 alınır, çünkü daha kolay bölünür. Kural bu yüzden yüzde birkaçlık artışlarda iyi çalışır, yüzde onlarca artışlarda ise biraz şaşar.

Göldeki Nilüferler

Daha fazla okumadan önce bu bulmacayı kendin çözmeye çalış. Bir gölde nilüferler yetişiyor ve her gün bir önceki günün iki katı kadar nilüfer oluyor. 30 günde göl tamamen kaplanıyor. Gölün yarısı kaçıncı gün kaplanmıştı?

Akla gelen cevap on beşinci gün, çünkü on beş otuzun yarısı. Ama nilüfer sayısı her gün ikiye katlandığı için, 30. gün göl tamamen kaplıysa bir gün önce yarısı kaplı olmalıdır. Gölün yarısı 29. gün nilüferlerle kaplanmıştı.

Zamanda daha da geriye gidersek: 28. gün dörtte biri kaplıydı, 27. gün sekizde biri, 26. gün on altıda biri, 25. gün ise su yüzeyinin yalnızca yaklaşık %3’ü. 25. gün göle bakan biri neredeyse temiz bir su görür ve daha çok zaman olduğunu düşünürdü. Oysa yalnızca beş gün sonra göl tamamen nilüferle dolar.

Üstel artışın aldatıcı yanı tam da budur. Zamanın çoğunda masum görünür ve çıplak gözle fark edilir hâle geldiğinde sona yalnızca birkaç ikiye katlanma kalmıştır.

Salgın

Bir hastalık da aynı hızla yayılabilir. Diyelim ki bir şehirde bugün 100 hasta var ve vaka sayısı her üç günde bir ikiye katlanıyor. 30 günde on kez ikiye katlanır:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1.024=102.400$$

Yüz hastadan bir ay sonra yüz binin üzerinde hasta olur. Bu yüzden epidemiyologlar, sayılar henüz küçükken, insanlara hiçbir şey olmuyormuş gibi gelirken önlem alınması için bastırır. Çünkü göldeki 25. gündeyiz.

Hastalığın ne kadar hızlı yayıldığını üreme sayısı R anlatır. Basitçe: bir hastanın ortalama kaç kişiye daha bulaştırdığı. R = 2 ise her hasta iki kişiye bulaştırır, o ikisi dört kişiye bulaştırır ve hastaların her “kuşağı” bir öncekinin iki katı kalabalık olur. Bir kuşak yaklaşık üç gün sürüyorsa, yukarıdaki örneğe tam olarak geri döneriz. R’yi birin altına, örneğin 0,8’e çekmek mümkün olursa, hasta sayısı her kuşakta birden küçük bir sayıyla çarpılır ve salgın zayıflar. 100 hastadan onuncu kuşakta yalnızca yaklaşık

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

kişi hastalanır.

R = 0,8 ile R = 2 arasındaki fark küçük görünür. Ama on kuşak sonra bu fark, on bir hasta ile yüz iki bin hasta arasındaki uçuruma dönüşür.

Kâğıdı Kırk İki Kez Katla

Kalınlığı yaklaşık bir milimetrenin onda biri olan bir kâğıt al. Onu ikiye katla, iki katın olur, yani milimetrenin onda ikisi. Bir daha katla, dört kat olur. Her katlama kalınlığı ikiye katlar. Kâğıt 42 katlamadan sonra ne kadar kalın olurdu?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440.000.000.000\text{mm}=440.000\text{km}$$

Ay, Dünya’dan ortalama yaklaşık 384.000 km uzaktadır. Kırk iki kez katlanmış kâğıt ona ulaşır, hatta biraz da ötesine geçerdi.

Bunu denemene gerek yok, zaten bir kâğıdı elle yediden fazla katlayamazsın. Yedi katlamadan sonra 128 kat olur ve kalınlığı 1,3 cm’den biraz azdır, üstelik giderek küçülür ve sertleşir. Rekor on üç katlamadır ve bunun için yaklaşık 16 km uzunluğunda bir tuvalet kâğıdı şeridi gerekmiştir.

Bu sayı bize neden saçma geliyor? Sezgimiz toplamayla başa çıkar. 42 adım düşündüğümüzde, yan yana duran 42 eşit adım düşünürüz. Ama burada her adım, kâğıdın o ana kadarki kalınlığı kadar ekler. On katlamadan sonra kâğıt yaklaşık 10 cm kalındır, yirmiden sonra 100 m’yi aşar, otuzdan sonra ise 107 km yüksekliğe ulaşır. Kâğıdı Ay’a ulaştıran son on iki katlama da basitçe on iki ikiye katlanmadır.

Sonsuza Kadar Sürmez

Nilüferler aynı hızla çoğalmaya devam etseydi, 31. gün iki gölü, 40. gün bin gölü kaplardı. Elbette böyle olmaz. Gölün yüzey alanı sınırlıdır, bakterilerin yiyeceği sınırlıdır, hastalığın da çoğu insan zaten geçirdiyse bulaşacak kimsesi kalmaz. Doğada üstel artış, yer ya da kaynaklar tükenmeye başlayana kadar sürer.

Sonra artış yavaşlar ve değer, çevrenin besleyebileceği bir tavana yaklaşır. Böyle bir artışın grafiği uzatılmış bir S harfine benzer, bu yüzden ona S eğrisi, bilimsel adıyla lojistik büyüme denir.

Başlangıçta iki eğri neredeyse aynıdır. Kaynak yeterlidir, hiçbir şey frenlemez ve S eğrisi üstel olarak artar. Daha yarı yola varmadan üstel eğriden ayrılmaya başlar, K tavanına giden yolun yarısında en hızlı artar, sonra bükülür ve tavana yalnızca yavaşça yaklaşır. Sorun şu: grafiğin ilk kısmından üstel eğriye mi yoksa S eğrisine mi baktığını anlayamazsın. Bu ancak daha sonra ortaya çıkar.

Aynı kalıpla değer azalabilir de. Değerin her dönemde birden küçük bir sayıyla çarpılması yeter, tıpkı R = 0,8 olan salgındaki gibi. Ders kitabı örneği radyoaktif bozunmadır. İkiye katlanma süresi yerine burada yarı ömürden, yani maddenin yarısının bozunduğu süreden söz edilir. Radyoaktif sezyum 137’nin yarı ömrü yaklaşık 30 yıldır. 30 yıl sonra yarısı, 60 yıl sonra dörtte biri, 90 yıl sonra sekizde biri kalır. Matematiksel olarak yalnızca yarılanır, yarılanır ve hiçbir zaman sıfıra inmez. Ama madde atomlardan oluştuğu için, bir gram sezyumun son atomu da yaklaşık iki bin yıl sonra bozunmuş olur.

Ayrıca Bak

• Üstel Fonksiyon
• Logaritmalar
• Bileşik Faiz