Exponentiell tillväxt

En gammal legend berättar att schackets uppfinnare bad härskaren om en blygsam belöning: ett riskorn på schackbrädets första ruta, två på den andra, fyra på den tredje och på varje följande ruta dubbelt så många som på den föregående. Härskaren skrattade åt hur lite vismannen önskade sig och lät hämta en säck ris. Men han skrattade för tidigt.

På första rutan ligger 1 riskorn, alltså 2⁰. På den andra 2¹ = 2, på den tredje 2² = 4, på den fjärde 2³ = 8. Exponenten är ett mindre än rutans nummer, så på den sista, 64:e rutan ligger

$$2^{63}=9223372036854775808$$

riskorn. Det är över nio triljoner. Men det är bara den sista rutan, och vi är intresserade av hela brädet. Om vi adderar alla rutor får vi

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

alltså exakt 18 446 744 073 709 551 615 riskorn.

Varför just 2⁶⁴ − 1? Kontrollera det på de första rutorna: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Summan är varje gång ett mindre än antalet riskorn på nästa ruta.

Ett skalat riskorn väger ungefär 20 milligram, tusen riskorn alltså cirka 20 gram. Vi räknar ut hur mycket hela schackbrädet skulle väga:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369000000000\text{t}$$

Hela schackbrädet skulle väga ungefär 369 miljarder ton ris. Hela världen odlar däremot på ett år ungefär 540 miljoner ton skalat ris. Hur många års skördar skulle det räcka till? Kvoten av de två talen:

$$\frac{369000000000}{540000000}\approx 683$$

Härskaren skulle behöva lämna över allt ris som mänskligheten skördar under mer än sexhundra år. Det mest intressanta är hur ofarligt det ser ut länge: hela första hälften av schackbrädet, 32 rutor, ger tillsammans 2³² − 1, alltså ungefär 4,3 miljarder riskorn. Det är omkring 86 ton, några lastbilar. Resten hälls ut först på den andra halvan av brädet.

Addition mot multiplikation

Om något växer så att samma tal adderas i varje steg talar vi om linjär tillväxt. Om det i stället multipliceras med samma tal i varje steg är det exponentiell tillväxt. På schackbrädet var det multiplikation med två.

Hugos föräldrar erbjuder två sätt att höja hans fickpengar. Nu får han 300 kr i månaden, och de höjs antingen med 100 kr varje månad eller med 10 %. Hundra kronor eller bara tio procent av trehundra, alltså trettio? Valet verkar självklart.

Den första månaden stämmer det verkligen. Med addition får Hugo 300 + 100 = 400 kr, med multiplikation 300 · 1,1 = 330 kr. Efter ett halvår har additionen gett 900 kr och multiplikationen ungefär 531 kr. Men tio procent räknas på ett allt större belopp, så ökningarna växer, medan hundralappen förblir en hundralapp. I månad 23 går multiplikationen förbi additionen och därefter bara ökar avståndet: efter tre år skulle Hugo med addition få 3900 kr, med multiplikation över 9200 kr. Och efter fyra år 5100 kr mot ungefär 29 100 kr i månaden.

Den blå linjen leder en stund, men den röda kurvan stiger allt brantare. Det gäller i allmänhet: exponentiell tillväxt springer förr eller senare förbi vilken linjär tillväxt som helst, frågan är bara när.

Hela den exponentiella tillväxten ryms i en enda formel

$$N=N_0\cdot q^t,$$

där N₀ är startvärdet, q är det tal som man multiplicerar med under en period (förändringsfaktorn) och t är antalet förflutna perioder. För Hugo är N₀ = 300 och q = 1,1, eftersom en ökning med 10 % betyder att multiplicera med 1,1. Efter 36 månader får vi

$$N=300\cdot 1,1^{36}\approx 9274\text{kr}.$$

På schackbrädet är N₀ = 1 och q = 2. Variabeln t står i exponenten, så det är en exponentialfunktion. Där hittar du också bakterier som delar sig i två.

När fördubblas det?

Vid exponentiell tillväxt är det praktiskt att fråga hur lång tid det tar tills värdet har fördubblats. Den här fördubblingstiden ändras inte, oavsett när vi börjar. Om något fördubblas på tio år fördubblas det på nytt under de följande tio åren, och efter tjugo år är det fyra gånger så mycket.

För en uppskattning räcker en enkel tumregel, sjuttioregeln: om något växer med p procent per period fördubblas det på ungefär

$$\frac{70}{p}$$

perioder. Om priserna i affären stiger med 7 % om året fördubblas de på ungefär 70:7 = 10 år. En fralla som i dag kostar 5 kronor skulle om tio år kosta nästan 10. Pengar som står på ett konto med 3 % ränta om året fördubblas däremot på ungefär 70:3 ≈ 23 år. Räntan räknas nämligen också på den tidigare räntan, och det är alltså ränta på ränta, det vill säga återigen exponentiell tillväxt.

Varför just sjuttio? Den exakta fördubblingstiden får vi med hjälp av logaritmer. Vi söker t som löser exponentialekvationen

$$1,{07}^t=2.$$

Vi logaritmerar ekvationen, så att exponenten hamnar framför logaritmen:

$$t\cdot \lg 1,07=\lg 2$$

Nu återstår bara att dela:

$$t=\frac{\lg 2}{\lg 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Priserna skulle alltså fördubblas på drygt tio år, sjuttioregeln träffade nästan exakt. Talet sjuttio kommer av att kvoten av två logaritmer är densamma oavsett vilken bas logaritmerna har. Med den naturliga logaritmen ln och en allmän tillväxt på p procent får vi

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

eftersom $\ln (1+\frac{p}{100})$ för små procenttal är ungefär $\frac{p}{100}$. I stället för 69,3 tar man 70, eftersom det är lättare att dela med. Regeln fungerar därför bra för några få procent, men för tiotals procent slår den lite fel.

Näckrosor i en damm

Innan du läser vidare, försök lösa den här gåtan själv. I en damm växer näckrosor, och varje dag är de dubbelt så många som dagen innan. På 30 dagar täcker de hela dammen. Vilken dag var halva dammen täckt?

Det som ligger nära till hands är svaret dag femton, femton är ju hälften av trettio. Men antalet näckrosor fördubblas varje dag, så om hela dammen är täckt dag 30 måste den ha varit halvtäckt dagen innan. Halva dammen var täckt av näckrosor dag 29.

Om vi går ännu längre bakåt i tiden: dag 28 var en fjärdedel täckt, dag 27 en åttondel, dag 26 en sextondel, dag 25 bara ungefär 3 % av ytan. Den som tittade på dammen dag 25 skulle se nästan rent vatten och dra slutsatsen att det finns gott om tid. Och efter bara fem dagar är dammen helt igenvuxen.

Just det är det lömska med exponentiell tillväxt. Under det mesta av tiden ser den ofarlig ut, och när den väl syns med blotta ögat återstår bara några få fördubblingar till slutet.

Epidemier

En sjukdom kan sprida sig i samma takt. Säg att det i dag finns 100 smittade i en stad och att antalet fall fördubblas var tredje dag. På 30 dagar fördubblas det alltså tio gånger:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

Från hundra sjuka är det efter en månad över hundra tusen. Därför trycker epidemiologer på för åtgärder redan när siffrorna fortfarande är små och det för folk verkar som att ingenting händer. Vi är ju vid dammen dag 25.

Hur snabbt en sjukdom sprider sig beskrivs av reproduktionstalet R. Förenklat: hur många andra personer en sjuk person i genomsnitt smittar. Om R = 2 smittar var och en två andra, de två smittar fyra, och varje ”generation” av sjuka är dubbelt så stor. Om en generation varar ungefär tre dagar är vi tillbaka vid exemplet ovan. Om man lyckas pressa ned R under ett, till exempel till 0,8, multipliceras antalet sjuka i varje generation med ett tal som är mindre än ett och epidemin ebbar ut. Av 100 smittade blir det i tionde generationen bara ungefär

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

smittade.

Skillnaden mellan R = 0,8 och R = 2 verkar liten. Efter tio generationer är den ändå en avgrund mellan elva och etthundratvå tusen sjuka.

Vik ett papper 42 gånger

Ta ett pappersark som är ungefär en tiondels millimeter tjockt. Vik det på mitten och du har två lager, alltså två tiondels millimeter. Vik det igen och du har fyra lager. Varje vikning fördubblar tjockleken. Hur tjockt skulle papperet vara efter 42 vikningar?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440000000000\text{mm}=440000\text{km}$$

Månen ligger i genomsnitt ungefär 384 000 km från jorden. Ett papper som vikts 42 gånger skulle nå dit och dessutom sticka ut en bit.

Du behöver inte pröva det, för mer än sju gånger kan du ändå inte vika ett pappersark för hand. Efter sju vikningar har det 128 lager och är knappt 1,3 cm tjockt, och dessutom blir det allt mindre och stelare. Rekordet är tretton vikningar, och det krävdes en ungefär 16 km lång remsa toalettpapper.

Varför känns det här talet så orimligt? Intuitionen klarar addition. När vi föreställer oss 42 steg föreställer vi oss 42 likadana steg efter varandra. Här lägger däremot varje steg till lika mycket som hela papperet hittills är tjockt. Efter tio vikningar är papperet ungefär 10 cm tjockt, efter tjugo över 100 m och efter trettio når det redan 107 km upp. Och de sista tolv vikningarna, som tar papperet till månen, är helt enkelt ytterligare tolv fördubblingar.

Det varar inte för evigt

Om näckrosorna fortsatte att föröka sig i samma takt skulle de dag 31 täcka två dammar och dag 40 tusen dammar. Så fungerar det förstås inte. En damm har bara en begränsad yta, bakterier har en begränsad mängd föda och en sjukdom har ingen att smitta när de flesta redan har haft den. I naturen varar exponentiell tillväxt bara tills utrymmet eller resurserna börjar ta slut.

Då avtar tillväxten och värdet närmar sig ett tak som miljön kan försörja. Grafen för en sådan tillväxt ser ut som ett utdraget S, och därför kallas den S-kurva, med facktermen logistisk tillväxt.

I början skiljer sig de två kurvorna knappt åt. Det finns gott om resurser, så ingenting bromsar och S-kurvan växer exponentiellt. Redan före halvvägs börjar den avvika från exponentialkurvan, halvvägs till taket K växer den snabbast, och sedan böjer den av och närmar sig taket bara långsamt. Problemet är att man utifrån början av grafen inte kan avgöra om man tittar på en exponentialkurva eller en S-kurva. Det visar sig först senare.

Enligt samma mönster kan ett värde också minska. Det räcker att värdet i varje period multipliceras med ett tal som är mindre än ett, som vid epidemin med R = 0,8. Det klassiska exemplet är radioaktivt sönderfall. I stället för fördubblingstid talar man här om halveringstid, alltså den tid det tar tills hälften av ämnet har sönderfallit. Radioaktivt cesium 137 har en halveringstid på ungefär 30 år. Efter 30 år återstår hälften av det, efter 60 år en fjärdedel, efter 90 år en åttondel. Matematiskt sett halveras det bara om och om igen och sjunker aldrig till noll. Men ämnet består av atomer, och därför har även den sista atomen i ett gram cesium sönderfallit efter ungefär två tusen år.

Se även

• Exponentialfunktion
• Logaritmer
• Ränta på ränta