ベクトル空間の次元

ベクトル空間の次元とは、その空間の基底の要素の個数のことです。基底が無限集合のときは、次元も無限であるといいます。

ベクトル空間の次元の定義

ベクトル空間 V と、その基底 B を考えます。つまり、B ⊆ V が成り立ち、集合 B は1次独立なベクトルからなり、集合 B の線形包は空間 V に等しくなります。すなわち ⟨B⟩ = V です。

基底 B の要素が有限個で、その個数が n のとき、空間 V の次元は n であるといいます。次元は記号 dim で表し、dim V = |B| = n と書きます。基底 B が無限集合のときは、空間の次元も無限であるといいます。空間の基底の要素の個数はどれも同じなので、どの基底を選んでもかまいません。

例えば、空間 ℝ³ には基底 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) があります。これは全部で三つのベクトルなので、dim ℝ³ = 3 です。一般に、dim ℝⁿ = n が成り立ちます。

空間 V の次元が n のとき、その空間を n 次元ベクトル空間といいます。

ベクトル空間の次元の性質

• ベクトル空間 V と、その部分空間 W ⊆ V を考えます。このとき、$\dim W\leqq \dim V$ が成り立ちます。
• 有限次元のベクトル空間 V と、空間全体とは異なる部分空間 W ⊂ V を考えます。このとき、dim W < dim V が成り立ちます。前の項目との違いは、W = V となる場合を認めない点です。つまり、V より小さい部分空間 W は、次元も小さくなります。なぜでしょうか。W のベクトルの線形結合ではないベクトル $\overrightarrow{x}\in V\setminus W$ が存在し、このベクトルは W のどの基底のベクトルの線形結合でもないからです。
• 空間 V の次元が n ならば、1次独立な n 個のベクトルの組は、どれも空間 V の基底になります。また、n + 1 個のベクトルの集合は必ず1次従属になります。