Dimensie van een vectorruimte

De dimensie van een vectorruimte is gelijk aan het aantal elementen van de basis van deze vectorruimte. Als de basis oneindig is, zeggen we dat ook de dimensie oneindig is.

Definitie van de dimensie van een vectorruimte

We nemen een vectorruimte V en een basis B daarvan. Dat wil zeggen: B ⊆ V, de verzameling B bevat lineair onafhankelijke vectoren en het lineaire opspansel van de verzameling B is gelijk aan de ruimte V: ⟨B⟩ = V.

Als de basis B een eindig aantal elementen n heeft, zeggen we dat de dimensie van de ruimte V gelijk is aan n. De dimensie noteren we met het woord dim, dus dim V = |B| = n. Als de basis B oneindig is, zeggen we dat de dimensie van de ruimte ook oneindig is. Omdat alle bases van de ruimte altijd even groot zijn, maakt het niet uit welke basis we nemen.

Voorbeeld: de ruimte ℝ³ heeft de basis (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Dat zijn in totaal drie vectoren, dus dim ℝ³ = 3. In het algemeen kunnen we zeggen dat dim ℝⁿ = n.

Als de ruimte V dimensie n heeft, spreken we van een n-dimensionale vectorruimte.

Eigenschappen van de dimensie van een vectorruimte

• We nemen een vectorruimte V en een deelruimte W ⊆ V daarvan. Dan geldt dat dim W ≤ dim V.
• We nemen een vectorruimte V van eindige dimensie en een deelruimte W ⊂ V daarvan. Dan geldt dat dim W < dim V. Dit punt verschilt doordat we niet toestaan dat W = V. Als we dus een deelruimte W hebben die kleiner is dan V, dan heeft deze deelruimte ook een lagere dimensie. Waarom? Omdat er een vector x ∈ V ∖ W bestaat die geen lineaire combinatie van vectoren uit W is en dus ook geen lineaire combinatie van vectoren uit een willekeurige basis van W.
• Als de ruimte V dimensie n heeft, dan vormen willekeurige n lineair onafhankelijke vectoren een basis van de ruimte V. Een verzameling van n + 1 vectoren vormt dan een lineair afhankelijke verzameling vectoren.