A vektortér dimenziója

A vektortér dimenziója egyenlő e vektortér bázisa elemeinek számával. Ha a bázis végtelen, akkor azt mondjuk, hogy a dimenzió is végtelen.

A vektortér dimenziójának definíciója

Legyen adott egy V vektortér és valamilyen B bázisa. Azaz B ⊆ V, a B halmaz lineárisan független vektorokat tartalmaz, és a B halmaz lineáris burka egyenlő a V térrel: ⟨B⟩ = V.

Ha a B bázisnak véges számú, n eleme van, akkor azt mondjuk, hogy a V tér dimenziója n. A dimenziót a dim szóval jelöljük, tehát dim V = |B| = n. Ha a B bázis végtelen, azt mondjuk, hogy a tér dimenziója is végtelen. Mivel a tér összes bázisa mindig ugyanakkora, mindegy, melyik bázist vesszük.

Példa: az ℝ³ tér egyik bázisa az (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Ez összesen három vektor, tehát dim ℝ³ = 3. Általánosan mondhatjuk, hogy dim ℝⁿ = n.

Ha a V tér dimenziója n, akkor n-dimenziós vektortérről beszélünk.

A vektortér dimenziójának tulajdonságai

• Legyen adott egy V vektortér és valamilyen W ⊆ V altere. Ekkor igaz, hogy dim W ≤ dim V.
• Legyen adott egy véges dimenziós V vektortér és valamilyen W ⊂ V altere. Ekkor igaz, hogy dim W < dim V. Ez a pont abban különbözik, hogy nem engedjük meg, hogy W = V legyen. Ha tehát van egy W alterünk, amely kisebb a V-nél, akkor ennek az altérnek a dimenziója is alacsonyabb lesz. Miért? Mert létezik olyan x ∈ V ∖ W vektor, amely nem lineáris kombinációja a W vektorainak, így a W bármely bázisa vektorainak sem lineáris kombinációja.
• Ha a V tér dimenziója n, akkor bármely n lineárisan független vektor bázist alkot a V térben. Az n + 1 vektorból álló halmaz pedig lineárisan összefüggő vektorhalmaz.