Dimensão de um espaço vetorial

A dimensão de um espaço vetorial é igual ao número de elementos de uma base desse espaço vetorial. Se a base é infinita, dizemos que a dimensão também é infinita.

Definição de dimensão de um espaço vetorial

Considere um espaço vetorial V e alguma base sua B. Isto é, vale que B ⊆ V, o conjunto B contém vetores linearmente independentes e o subespaço gerado pelo conjunto B é igual ao espaço V: ⟨B⟩ = V.

Se a base B tem um número finito n de elementos, dizemos que a dimensão do espaço V é n. Representamos a dimensão pela palavra dim, de modo que dim V = |B| = n. Se a base B é infinita, dizemos que a dimensão do espaço também é infinita. Como todas as bases do espaço têm sempre o mesmo tamanho, tanto faz qual base tomamos.

Exemplo: o espaço ℝ³ tem a base (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). São três vetores no total, ou seja, dim ℝ³ = 3. Em geral, podemos dizer que dim ℝⁿ = n.

Se o espaço V tem dimensão n, falamos de um espaço vetorial de dimensão n.

Propriedades da dimensão de um espaço vetorial

• Considere um espaço vetorial V e algum subespaço seu W ⊆ V. Então vale que dim W ≤ dim V.
• Considere um espaço vetorial V de dimensão finita e algum subespaço seu W ⊂ V. Então vale que dim W < dim V. Este ponto é diferente porque não admitimos que W = V. Se temos, portanto, um subespaço W que é menor que V, esse subespaço terá também dimensão menor. Por quê? Porque existe um vetor x ∈ V ∖ W que não é combinação linear de vetores de W e, portanto, não é combinação linear de vetores de nenhuma base de W.
• Se o espaço V tem dimensão n, então quaisquer n vetores linearmente independentes formam uma base do espaço V. Um conjunto de n + 1 vetores forma, então, um conjunto linearmente dependente de vetores.