線形包

いくつかのベクトルの集合について、その線形結合をすべて集めると、そのベクトルの集合の線形包が得られます。

線形包の定義

ベクトル ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ を考えます。これらのベクトルから、線形結合によって新しいベクトルをつくれることはすでに見ました。実数 a₁, …, a_n を選び、実数倍して足し合わせると、新しいベクトル $\overrightarrow{y}$ が得られます。

$$\overrightarrow{y}=a_1\cdot {\overrightarrow{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\overrightarrow{x}}_n$$

ベクトル ${\overrightarrow{x}}_i$ のうち少なくとも一つが零ベクトルでなければ、この方法でベクトル ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ から「別の」ベクトルを無限に多くつくれます。係数 a₁, …, a_n を適当に選び直せばよいだけです。

こうしてベクトルをどんどんつくっていくと、最終的にはベクトル ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ の線形結合で得られるベクトルがすべて得られます。この集合を、ベクトル ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ の線形包といいます（これらのベクトルが張る部分空間、生成する部分空間ともいいます）。ベクトルの集合 X の線形包は、山かっこを使って ⟨X⟩ と書きます（Span と書く本もあります）。ベクトルが有限個のとき、線形包は形式的に次のように書けます。

$$⟨{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\overrightarrow{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\overrightarrow{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

ベクトルの集合 X が無限集合の場合は、有限な部分集合 Y_i ⊆ X、つまりある r ∈ ℕ について |Y_i| = r となる部分集合をすべて考えます。このとき、集合 X の線形包は、すべての集合 ⟨Y_i⟩ の和集合です。

例

おなじみのベクトル空間 ℝ³ で考えましょう。要素が一つだけの集合 X₁ = {(1, 2, 1)} をとります。この集合の線形包はどうなるでしょうか。答えは、ベクトル (1, 2, 1) の線形結合全体です。得られる線形包は次の形になります。

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

つまり、(3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) などの形のベクトルです。このうちの二つのベクトルを足すと、同じ形の新しいベクトルが得られることを確かめてみましょう。

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

二つ目の例として、おなじみのベクトルの集合 X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} を考えます。線形結合をすべて求めると、a, b ∈ ℝ として (a, b, 0) の形になることがわかります。これは次の式から簡単に示せます。

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

この線形包に属するベクトルは、例えば (0, 8, 0) や (14, 15, 0) などです。形式的には次のように書きます。

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

最小の部分空間としての線形包

ベクトル空間 V と、ベクトルの集合 X ⊆ V を考えます。このとき、線形包 ⟨X⟩ は空間 V の部分空間です。つまり、線形包 ⟨X⟩ 自身もベクトル空間です。

これを示すには、線形包 ⟨X⟩ が和とスカラー倍について閉じていることを確かめれば十分です。どのベクトル $\overrightarrow{x}\in ⟨X⟩$ も X のベクトルの線形結合としてできているので、これは確かに成り立ちます。

さらに、集合 X の線形包は、集合 X のベクトルをすべて含む最小の部分空間です。なぜでしょうか。X のベクトルを含む最小の部分空間は、X のベクトルの線形結合もすべて含まなければなりません。そうでなければベクトル空間にならないからです。背理法で考えましょう。X のベクトルをすべて含む、もっと小さい部分空間 Y が存在し、X ⊆ Y だと仮定します。仮定より Y は線形包 ⟨X⟩ より小さいので、⟨X⟩ には属するが Y には属さないベクトル $\overrightarrow{x}$ が存在するはずです。つまり、$\overrightarrow{x}\in ⟨X⟩\wedge \overrightarrow{x}\notin Y$ です。

一方で、ベクトル $\overrightarrow{x}$ は X のベクトルの線形結合として表せるはずです。したがって、次の式を満たすベクトル ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n\in X$ と係数 a₁, …, a_n が存在します。

$$\overrightarrow{x}=a_1\cdot {\overrightarrow{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\overrightarrow{x}}_n$$

ところが、Y がベクトル ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ を含んでいながら、このベクトル $\overrightarrow{x}$ を含まないなら、Y はベクトル空間ではなく、部分空間でもありません。これは矛盾です。よって、線形包 ⟨X⟩ は X のベクトルをすべて含む最小の部分空間です。

線形包の基本的な性質

• いつでも W ⊆ ⟨W⟩ が成り立ちます。これは明らかでしょう。集合 W の線形包は、集合 W と同じか、それより大きくなります。線形包 ⟨W⟩ は W のベクトルの線形結合をすべて含むので、⟨W⟩ は W のベクトルもすべて含みます。実際、ベクトル $\overrightarrow{x}\in W$ をとると、a = 1 として線形結合 $a\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$ が得られます。

  例えば、集合 W = {(1, 0, 0)} の線形包は次の集合です。

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  明らかに、{(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ} が成り立ちます。

• いつでも ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩ が成り立ちます。一度線形包を求めたら、その線形包の線形包はもとの線形包と同じです。⟨W⟩ は W の線形結合をすべて含んでいます。⟨W⟩ の線形結合をもう一度すべて求めても、新しいベクトルは一つも得られません。

• ベクトル空間 V と、この空間の二つの部分集合 W₁ と W₂（部分空間とは限りません）、つまり W₁, W₂ ⊆ V を考えます。さらに W₁ ⊆ W₂ が成り立つならば、⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩ も成り立ちます。

  言いかえると、二つのベクトルの集合の一方がもう一方に含まれているなら、小さいほうの集合の線形包は、大きいほうの集合の線形包と同じか、それより小さくなります。

  例えば、W₁ = {(1, 0, 0)}、W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} とします。W₁ ⊆ W₂ が成り立つことがわかります。線形包はどうなるでしょうか。

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  予想どおり、ベクトルの集合 W₂ は集合 W₁ よりも「大きい線形包を生成」しました。集合 W₂ は集合 W₁ のベクトルをすべて含んでいるので、W₁ のベクトルの線形結合は、どれも W₂ のベクトルからつくれます。

  別の例として、W₃ = {(1, 2, 0)} と W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)} を考えます。W₄ のベクトルが1次従属であることは一目でわかります。そのため、二つの集合は同じ線形包を生成します。つまり、W₃ ⊂ W₄（真部分集合）であっても ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩ です。