Dimension d’un espace vectoriel

La dimension d’un espace vectoriel est égale au nombre d’éléments d’une base de cet espace vectoriel. Si la base est infinie, on dit que la dimension est infinie elle aussi.

Définition de la dimension d’un espace vectoriel

Prenons un espace vectoriel V et l’une de ses bases B. On a donc B ⊂ V, l’ensemble B contient des vecteurs linéairement indépendants et le sous-espace engendré par l’ensemble B est égal à l’espace V : Vect(B) = V.

Si la base B a un nombre fini n d’éléments, on dit que la dimension de l’espace V est n. On note la dimension dim, donc dim V = |B| = n. Si la base B est infinie, on dit que la dimension de l’espace est infinie elle aussi. Comme toutes les bases de l’espace ont toujours le même nombre d’éléments, peu importe la base choisie.

Exemple : l’espace ℝ³ a pour base (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 0), (0 ; 0 ; 1). Cela fait trois vecteurs, donc dim ℝ³ = 3. De façon générale, on peut dire que dim ℝⁿ = n.

Si l’espace V est de dimension n, on parle d’espace vectoriel de dimension n.

Propriétés de la dimension d’un espace vectoriel

• Prenons un espace vectoriel V et l’un de ses sous-espaces W ⊂ V. Alors dim W ≤ dim V.
• Prenons un espace vectoriel V de dimension finie et l’un de ses sous-espaces W ⊊ V. Alors dim W < dim V. Ce point diffère du précédent en ce qu’on n’autorise pas W = V. Si un sous-espace W est strictement plus petit que V, il a donc aussi une dimension strictement plus petite. Pourquoi ? Parce qu’il existe un vecteur x ∈ V ∖ W qui n’est pas une combinaison linéaire de vecteurs de W, et donc pas non plus une combinaison linéaire de vecteurs d’une base quelconque de W.
• Si l’espace V est de dimension n, alors n vecteurs linéairement indépendants quelconques forment une base de l’espace V. Une famille de n + 1 vecteurs est alors une famille liée.