ベクトル空間の基底

ベクトル空間 V の基底とは、1次独立なベクトルの集合で、その線形包が空間 V になるもののことです。

基底を導入する理由

ベクトル空間 V と、その部分集合 W ⊂ V で、線形包 ⟨W⟩ が空間 V に等しいもの、つまり ⟨W⟩ = V となるものを考えます。例えば、W = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)}、V = ℝ² とします。

明らかに ⟨W⟩ = ℝ² が成り立ちます。集合 W にはベクトルが三つしかありませんが、線形包を考えることで、ベクトル全体の無限集合 ℝ² をすべて表せます。ここで、次の疑問がわいてきます。性質 ⟨W⟩ = ℝ² を保ったまま、集合 W からさらにベクトルを取り除けるでしょうか。

例えば、最後のベクトル (2, 3) を除くと、集合 W₁ = {(1, 0), (0, 1)} が得られます。この集合の線形包も ℝ² です。では、線形包が ℝ² になるベクトルの集合のうち、いちばん小さいものはどれでしょうか。

W₁ から残りの二つのベクトルのどちらかを取り除くと、その集合（これを W₂ とします）の線形包はもう ℝ² にはなりません。例えば、集合 W₂ = {(1, 0)} の線形包は集合 ⟨W₂⟩ = {(a, 0) | a ∈ ℝ} です。これは明らかに集合 ℝ² と等しくありません。例えばベクトル (0, 1) が含まれていないからです。

したがって、集合 W₁ = {(1, 0), (0, 1)} は、線形包が空間 ℝ² になる最小のベクトルの集合です。ここから、さらに次のような疑問が考えられます。

1. 線形包が空間 ℝ² になる、まったく別の要素が一つだけの集合は存在するでしょうか。
2. 線形包が空間 ℝ² になる最小のベクトルの集合は、ただ一つに決まるでしょうか。

見出しが疑問形の記事は、答えがたいていいいえだといわれます。今回もそのとおりです。線形包が ℝ² になる、要素が一つだけの集合は存在しません。次のように証明できます。

線形包が ℝ² になる要素が一つの集合はあるか

ベクトル $\overrightarrow{x}$ を一つだけ含む集合 $\left\{\overrightarrow{x}\right\}$ があり、その線形結合全体が空間 ℝ² になると仮定します。このとき、次の式を満たす実数 a₁, a₂ が存在するはずです。

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot \overrightarrow{x}& =& (1,0)\\ a_2\cdot \overrightarrow{x}& =& (0,1)\end{array}$$

なぜこの二つのベクトルを選んだのでしょうか。実は、1次独立でありさえすれば、どのベクトルを選んでもかまいません。

$\overrightarrow{x}=(x_1,x_2)$ とおきます。このとき、x₁, x₂ ≠ 0 でなければなりません。もし x₁ = 0 なら、ベクトル $\overrightarrow{x}$ の線形結合で目的のベクトル (1, 0) をつくることはできないからです。x₂ についても同じです。先ほどの連立方程式を書き直すと、次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot (x_1,x_2)& =& (1,0)\\ a_2\cdot (x_1,x_2)& =& (0,1)\end{array}$$

これを成分ごとの方程式に分けます。

$$\begin{array}{rcl}{a}_1\cdot x_1& =& 1\\ a_1\cdot x_2& =& 0\\ a_2\cdot x_1& =& 0\\ a_2\cdot x_2& =& 1\end{array}$$

2番目と3番目の方程式から、a₁ = a₂ = 0 がわかります。x₁, x₂ ≠ 0 なので、積 a₁ · x₂ と a₂ · x₁ が0になるには、a₁ = a₂ = 0 しかありえないからです。ところが、これは1番目と4番目の方程式に矛盾します。a₁ = 0 ならば a₁ · x₁ = 0 ですが、1番目の方程式は a₁ · x₁ = 1 を表しているからです。

したがって、要素が一つだけの集合の線形包が空間 ℝ² になることはありません。

線形包が ℝ² になる最小の集合はただ一つか

この性質をもつ要素が一つの集合は存在しないこと、そして集合 W = {(1, 0), (0, 1)} の線形包が ℝ² になることはわかりました。では、線形包が ℝ² になる要素が二つの集合は、この集合だけでしょうか。

もちろん、そうではありません。別の要素が二つの集合 W = {(2, 0), (0, 2)} も、線形包は ℝ² です。a ∈ ℝ, a ≠ 0 として、どんなベクトルの組 (a, 0), (0, a) も線形包は ℝ² になります。実際には、1次独立な二つのベクトルの組なら、どれでも線形包は ℝ² になります。したがって、線形包として ℝ² を生成する要素が二つの集合は、無限に多く存在します。

また、要素が三つの部分集合 W₃ ⊆ ℝ² は、どれも1次従属なベクトルからなります。なぜでしょうか。三つのベクトル (a, b), (c, d), (e, f) を、行列の形に並べてみます。

$$\left(\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right)$$

この行列の階数は2以下なので、3つの列（ベクトル）は必ず1次従属になります。

ベクトル空間の基底の定義

ベクトル空間 V と、B ⊆ V を考えます。次の二つが成り立つとき、B をベクトル空間 V の基底といいます。

1. ⟨B⟩ = V
2. B は1次独立なベクトルの集合

基底とは、線形包が空間 V になる1次独立なベクトルの集合です。つまり基底は、線形包が空間 V になる最小のベクトルの集合です。基底から要素を一つ取り除くと、線形包はもう空間 V になりません。逆にベクトルを一つ加えると、そのベクトルはほかのベクトルの線形結合になります。

空間 ℝⁿ では、n 個の数の組の集合 (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, …, 0, 1) が空間 ℝⁿ の基底になります。この基底を標準基底といいます。例えば ℝ³ の標準基底は (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) です。このとき、ベクトル (a, b, c) は次の線形結合で得られます。

$$a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0)+c\cdot (0,0,1)$$

ベクトル (0, 1, 0) を取り除くと、新しい集合の線形包は ℝ³ ではなくなります。ベクトル (14, −2, 5) を加えると、このベクトルは係数 a = 14, b = −2, c = 5 によるほかのベクトルの線形結合になります。

ベクトル空間の基底の基本的な性質

• どんなベクトル空間 V にも基底があります。零ベクトルだけからなる空間 $\left\{\overrightarrow{0}\right\}$ の基底は空集合です。1次独立な集合 B₀ ⊆ V は、どれも空間 V の基底であるか、ベクトルを加えて基底にすることができます。B₀ が基底でない、つまり ⟨B₀⟩ ≠ V ならば、ベクトル ${\overrightarrow{x}}_0\in V\setminus ⟨B_0⟩$ が存在します。このベクトルは B₀ のベクトルの線形結合ではありません。これを集合 B₀ に加えると、新しい集合 $B_1=B_0\cup \left\{{\overrightarrow{x}}_0\right\}$ が得られます。B₁ についても、基底であるか、ベクトルを加えて基底にできるかのどちらかです。空間 V が有限個のベクトルからなる基底をもつなら、有限回の手順で、空間 V の基底となる1次独立なベクトルの集合 B_n が得られます。

• 空間の基底はただ一つには決まりません。基底はいつも複数あります。

• ベクトル空間の基底は、どれも要素（ベクトル）の個数が同じか、どれも無限集合です。例えば、空間 ℝ² の基底はどれも二つのベクトルからなり、要素が三つの集合や一つの集合は空間 ℝ² の基底になりません。

• 空間 V の基底 $B=\{{\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n\}$ があるとき、空間 V のどのベクトル $\overrightarrow{x}$ も基底のベクトルの線形結合で表せます。つまり、次の式を満たす実数の係数 a₁, …, a_n が存在します。

  $$\overrightarrow{x}=a_1\cdot {\overrightarrow{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\overrightarrow{e}}_n$$

  しかも、この係数はただ一通りに決まります。つまり、係数 b₁, … b_n について

  $$\overrightarrow{x}=b_1\cdot {\overrightarrow{e}}_1+\dots +b_n\cdot {\overrightarrow{e}}_n$$

  が成り立つなら、必ず a₁ = b₁, …, a_n = b_n です。