Dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial es igual al número de elementos de una base de este espacio vectorial. Si la base es infinita, decimos que la dimensión también es infinita.

Definición de dimensión de un espacio vectorial

Sean un espacio vectorial V y una base suya B. Es decir, se cumple que B ⊆ V, el conjunto B contiene vectores linealmente independientes y el subespacio generado por el conjunto B es igual al espacio V: ⟨B⟩ = V.

Si la base B tiene un número finito de elementos n, decimos que la dimensión del espacio V es n. La dimensión se denota con la palabra dim, así que dim V = |B| = n. Si la base B es infinita, decimos que la dimensión del espacio también es infinita. Como todas las bases del espacio tienen siempre el mismo tamaño, da igual qué base tomemos.

Ejemplo: el espacio ℝ³ tiene la base (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). En total son tres vectores, es decir, dim ℝ³ = 3. En general, podemos decir que dim ℝⁿ = n.

Si el espacio V tiene dimensión n, hablamos de un espacio vectorial de dimensión n.

Propiedades de la dimensión de un espacio vectorial

• Sean un espacio vectorial V y un subespacio suyo W ⊆ V. Entonces se cumple que dim W ≤ dim V.
• Sean un espacio vectorial V de dimensión finita y un subespacio suyo W ⊂ V. Entonces se cumple que dim W < dim V. La diferencia de este punto está en que no permitimos que sea W = V. Si tenemos, pues, un subespacio W más pequeño que V, este subespacio tendrá también una dimensión menor. ¿Por qué? Porque existe un vector x ∈ V ∖ W que no es combinación lineal de vectores de W y, por tanto, tampoco es combinación lineal de los vectores de ninguna base de W.
• Si el espacio V tiene dimensión n, cualesquiera n vectores linealmente independientes forman una base del espacio V. Un conjunto de n + 1 vectores forma entonces un conjunto de vectores linealmente dependiente.