Διάσταση διανυσματικού χώρου

Η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου είναι ίση με το πλήθος των στοιχείων της βάσης αυτού του διανυσματικού χώρου. Αν η βάση είναι άπειρη, τότε λέμε ότι και η διάσταση είναι άπειρη.

Ορισμός της διάστασης διανυσματικού χώρου

Έστω διανυσματικός χώρος V και μια βάση του, η B. Δηλαδή ισχύει ότι B ⊆ V, το σύνολο B περιέχει γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και η γραμμική θήκη του συνόλου B είναι ίση με τον χώρο V: ⟨B⟩ = V.

Αν η βάση B έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων n, τότε λέμε ότι η διάσταση του χώρου V είναι n. Τη διάσταση τη συμβολίζουμε με τη λέξη dim, άρα dim V = |B| = n. Αν η βάση B είναι άπειρη, λέμε ότι και η διάσταση του χώρου είναι άπειρη. Επειδή όλες οι βάσεις του χώρου έχουν πάντα το ίδιο μέγεθος, δεν έχει σημασία ποια βάση θα πάρουμε.

Παράδειγμα: ο χώρος ℝ³ έχει βάση (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Είναι συνολικά τρία διανύσματα, άρα dim ℝ³ = 3. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι dim ℝⁿ = n.

Αν ο χώρος V έχει διάσταση n, μιλάμε για n-διάστατο διανυσματικό χώρο.

Ιδιότητες της διάστασης διανυσματικού χώρου

• Έστω διανυσματικός χώρος V και ένας υπόχωρός του W ⊆ V. Τότε ισχύει dim W ≤ dim V.
• Έστω διανυσματικός χώρος V πεπερασμένης διάστασης και ένας υπόχωρός του W ⊂ V. Τότε ισχύει dim W < dim V. Η διαφορά από το προηγούμενο σημείο είναι ότι δεν επιτρέπουμε να είναι W = V. Αν έχουμε λοιπόν υπόχωρο W που είναι μικρότερος από τον V, τότε αυτός ο υπόχωρος θα έχει και μικρότερη διάσταση. Γιατί; Επειδή υπάρχει διάνυσμα x ∈ V ∖ W, που δεν είναι γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων του W και επομένως δεν είναι ούτε γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων οποιασδήποτε βάσης του W.
• Αν ο χώρος V έχει διάσταση n, τότε οποιαδήποτε n γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αποτελούν βάση του χώρου V. Ένα σύνολο n + 1 διανυσμάτων αποτελεί τότε γραμμικά εξαρτημένο σύνολο διανυσμάτων.