Dimension hos ett vektorrum

Dimensionen hos ett vektorrum är lika med antalet element i rummets bas. Om basen är oändlig säger vi att dimensionen också är oändlig.

Definition av dimension hos ett vektorrum

Låt V vara ett vektorrum och B en bas för det. Det betyder att B ⊆ V, att mängden B innehåller linjärt oberoende vektorer och att det linjära höljet av mängden B är lika med rummet V: span(B) = V.

Om basen B har ett ändligt antal element n säger vi att dimensionen hos rummet V är n. Dimensionen betecknas dim, så dim V = |B| = n. Om basen B är oändlig säger vi att rummets dimension också är oändlig. Eftersom alla baser för ett rum alltid är lika stora spelar det ingen roll vilken bas vi väljer.

Exempel: rummet ℝ³ har basen (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Det är sammanlagt tre vektorer, alltså dim ℝ³ = 3. I allmänhet kan vi säga att dim ℝⁿ = n.

Om rummet V har dimensionen n talar vi om ett n-dimensionellt vektorrum.

Egenskaper hos dimensionen

• Låt V vara ett vektorrum och W ⊆ V ett underrum till det. Då gäller dim W ≤ dim V.
• Låt V vara ett vektorrum med ändlig dimension och W ⊂ V ett underrum till det. Då gäller dim W < dim V. Skillnaden i den här punkten är att vi inte tillåter W = V. Om vi har ett underrum W som är mindre än V har underrummet också lägre dimension. Varför? Eftersom det finns en vektor x ∈ V ∖ W som inte är en linjärkombination av vektorer ur W och därmed inte heller en linjärkombination av vektorerna i någon bas för W.
• Om rummet V har dimensionen n bildar vilka n linjärt oberoende vektorer som helst en bas för rummet V. En mängd med n + 1 vektorer är då en linjärt beroende mängd vektorer.