Dimensjonen til et vektorrom

Dimensjonen til et vektorrom er lik antall elementer i en basis for dette vektorrommet. Hvis basisen er uendelig, sier vi at dimensjonen også er uendelig.

Definisjon av dimensjonen til et vektorrom

La oss si at vi har et vektorrom V og en basis B for det. Altså gjelder at B ⊆ V, mengden B inneholder lineært uavhengige vektorer og det lineære spennet til mengden B er lik rommet V: ⟨B⟩ = V.

Hvis basisen B har et endelig antall elementer n, sier vi at dimensjonen til rommet V er n. Dimensjonen skriver vi med ordet dim, så dim V = |B| = n. Hvis basisen B er uendelig, sier vi at dimensjonen til rommet også er uendelig. Siden alle baser for rommet alltid er like store, er det likegyldig hvilken basis vi tar.

Eksempel: rommet ℝ³ har basisen (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Det er til sammen tre vektorer, altså dim ℝ³ = 3. Generelt kan vi si at dim ℝⁿ = n.

Hvis rommet V har dimensjon n, snakker vi om et n-dimensjonalt vektorrom.

Egenskaper ved dimensjonen til et vektorrom

• La oss si at vi har et vektorrom V og et underrom W ⊆ V av det. Da gjelder at dim W ≤ dim V.
• La oss si at vi har et vektorrom V med endelig dimensjon og et underrom W ⊂ V av det. Da gjelder at dim W < dim V. Dette punktet er forskjellig ved at vi ikke tillater at W = V. Hvis vi altså har et underrom W som er mindre enn V, vil dette underrommet også ha lavere dimensjon. Hvorfor? Fordi det finnes en vektor x ∈ V ∖ W som ikke er en lineærkombinasjon av vektorer fra W, og dermed heller ikke en lineærkombinasjon av vektorer fra en hvilken som helst basis for W.
• Hvis rommet V har dimensjon n, danner hvilke som helst n lineært uavhengige vektorer en basis for rommet V. En mengde av n + 1 vektorer danner da en lineært avhengig mengde av vektorer.