Vektoriavaruuden dimensio

Vektoriavaruuden dimensio on yhtä suuri kuin tämän vektoriavaruuden kannan alkioiden lukumäärä. Jos kanta on ääretön, sanotaan, että myös dimensio on ääretön.

Vektoriavaruuden dimension määritelmä

Olkoon annettuna vektoriavaruus V ja jokin sen kanta B. Eli pätee, että B ⊆ V, joukko B sisältää lineaarisesti riippumattomia vektoreita ja joukon B virittämä aliavaruus on yhtä suuri kuin avaruus V: span(B) = V.

Jos kannassa B on äärellinen määrä n alkioita, sanotaan, että avaruuden V dimensio on n. Dimensiota merkitään sanalla dim, joten dim V = |B| = n. Jos kanta B on ääretön, sanotaan, että avaruuden dimensio on myös ääretön. Koska kaikki avaruuden kannat ovat aina yhtä suuria, on yhdentekevää, minkä kannan valitsee.

Esimerkki: avaruuden ℝ³ kanta on (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Vektoreita on yhteensä kolme, joten dim ℝ³ = 3. Yleisesti voidaan sanoa, että dim ℝⁿ = n.

Jos avaruuden V dimensio on n, puhutaan n-ulotteisesta vektoriavaruudesta.

Vektoriavaruuden dimension ominaisuudet

• Olkoon annettuna vektoriavaruus V ja jokin sen aliavaruus W ⊆ V. Silloin pätee dim W ≤ dim V.
• Olkoon annettuna äärellisulotteinen vektoriavaruus V ja jokin sen aliavaruus W ⊂ V. Silloin pätee dim W < dim V. Tämä kohta eroaa edellisestä siinä, että ei sallita tapausta W = V. Jos siis aliavaruus W on pienempi kuin V, tällä aliavaruudella on myös pienempi dimensio. Miksi? Koska on olemassa vektori x ∈ V ∖ W, joka ei ole joukon W vektorien lineaarikombinaatio eikä siis myöskään minkään avaruuden W kannan vektorien lineaarikombinaatio.
• Jos avaruuden V dimensio on n, mitkä tahansa n lineaarisesti riippumatonta vektoria muodostavat avaruuden V kannan. n + 1 vektorin joukko on silloin lineaarisesti riippuva vektorijoukko.