Vektör Uzayının Boyutu

Vektör uzayının boyutu, bu vektör uzayının tabanındaki eleman sayısına eşittir. Taban sonsuzsa, boyutun da sonsuz olduğunu söyleriz.

Vektör uzayının boyutunun tanımı

V bir vektör uzayı ve B onun bir tabanı olsun. Yani B ⊆ V olur, B kümesi doğrusal bağımsız vektörler içerir ve B kümesinin doğrusal germesi V uzayına eşittir: ⟨B⟩ = V.

B tabanının sonlu sayıda, n tane elemanı varsa, V uzayının boyutunun n olduğunu söyleriz. Boyutu dim ile gösteririz, yani dim V = |B| = n. B tabanı sonsuzsa, uzayın boyutunun da sonsuz olduğunu söyleriz. Uzayın tüm tabanları her zaman aynı büyüklükte olduğundan, hangi tabanı aldığımız fark etmez.

Örnek: ℝ³ uzayının tabanı (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) vektörleridir. Toplam üç vektör olduğundan dim ℝ³ = 3 olur. Genel olarak dim ℝⁿ = n diyebiliriz.

V uzayının boyutu n ise, n boyutlu vektör uzayından söz ederiz.

Vektör uzayının boyutunun özellikleri

• V bir vektör uzayı ve W ⊆ V onun bir alt uzayı olsun. O zaman dim W ≤ dim V olur.
• V sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve W ⊊ V onun bir alt uzayı olsun. O zaman dim W < dim V olur. Bu madde, W = V olmasına izin vermememiz bakımından farklıdır. Yani V’den küçük bir W alt uzayımız varsa, bu alt uzayın boyutu da daha düşük olur. Neden? Çünkü W’de olmayan bir x ∈ V ∖ W vektörü vardır; bu vektör bu alt uzayın vektörlerinin doğrusal birleşimi değildir, dolayısıyla W’nin herhangi bir tabanının vektörlerinin de doğrusal birleşimi değildir.
• V uzayının boyutu n ise, doğrusal bağımsız herhangi n vektör V uzayının bir tabanını oluşturur. n + 1 vektörden oluşan küme ise doğrusal bağımlı bir vektör kümesidir.