Dimensione di uno spazio vettoriale

La dimensione di uno spazio vettoriale è uguale al numero di elementi di una base di quello spazio vettoriale. Se la base è infinita, diciamo che anche la dimensione è infinita.

Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale

Consideriamo uno spazio vettoriale V e una sua base B. Cioè: B ⊆ V, l’insieme B contiene vettori linearmente indipendenti e lo span lineare dell’insieme B è uguale allo spazio V: ⟨B⟩ = V.

Se la base B ha un numero finito n di elementi, diciamo che la dimensione dello spazio V è n. La dimensione si indica con dim, quindi dim V = |B| = n. Se la base B è infinita, diciamo che anche la dimensione dello spazio è infinita. Poiché tutte le basi dello spazio hanno sempre lo stesso numero di elementi, non importa quale base scegliamo.

Esempio: lo spazio ℝ³ ha la base (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Sono in tutto tre vettori, quindi dim ℝ³ = 3. In generale possiamo dire che dim ℝⁿ = n.

Se lo spazio V ha dimensione n, parliamo di spazio vettoriale n-dimensionale.

Proprietà della dimensione di uno spazio vettoriale

• Consideriamo uno spazio vettoriale V e un suo sottospazio W ⊆ V. Allora vale dim W ≤ dim V.
• Consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione finita e un suo sottospazio W ⊂ V. Allora vale dim W < dim V. Questo punto differisce dal precedente perché non ammettiamo che sia W = V. Se quindi abbiamo un sottospazio W più piccolo di V, questo sottospazio avrà anche dimensione minore. Perché? Perché esiste un vettore x ∈ V ∖ W che non è una combinazione lineare dei vettori di W e quindi non è una combinazione lineare dei vettori di nessuna base di W.
• Se lo spazio V ha dimensione n, allora n vettori linearmente indipendenti qualsiasi formano una base dello spazio V. Un insieme di n + 1 vettori è invece un insieme di vettori linearmente dipendenti.