Dimension eines Vektorraums

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl der Elemente einer Basis dieses Vektorraums. Ist die Basis unendlich, dann sagen wir, dass auch die Dimension unendlich ist.

Definition der Dimension eines Vektorraums

Sei V ein Vektorraum und B eine Basis davon. D. h. es gilt B ⊆ V, die Menge B enthält linear unabhängige Vektoren, und die lineare Hülle der Menge B ist gleich dem Raum V: ⟨B⟩ = V.

Hat die Basis B endlich viele Elemente n, dann sagen wir, dass die Dimension des Raums V gleich n ist. Die Dimension bezeichnen wir mit dem Wort dim, also dim V = |B| = n. Ist die Basis B unendlich, sagen wir, dass die Dimension des Raums ebenfalls unendlich ist. Da alle Basen eines Raums immer gleich groß sind, ist es egal, welche Basis wir nehmen.

Beispiel: Der Raum ℝ³ hat die Basis (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Das sind insgesamt drei Vektoren, also dim ℝ³ = 3. Allgemein können wir sagen, dass dim ℝⁿ = n.

Hat der Raum V die Dimension n, sprechen wir von einem n-dimensionalen Vektorraum.

Eigenschaften der Dimension eines Vektorraums

• Sei V ein Vektorraum und W ⊆ V ein Untervektorraum davon. Dann gilt dim W ≤ dim V.
• Sei V ein Vektorraum endlicher Dimension und W ⊂ V ein Untervektorraum davon. Dann gilt dim W < dim V. Der Unterschied bei diesem Punkt besteht darin, dass wir nicht zulassen, dass W = V. Haben wir also einen Untervektorraum W, der kleiner als V ist, dann hat dieser Untervektorraum auch eine niedrigere Dimension. Warum? Weil ein Vektor x ∈ V ∖ W existiert, der keine Linearkombination von Vektoren aus W ist und somit auch keine Linearkombination von Vektoren aus einer beliebigen Basis von W.
• Hat der Raum V die Dimension n, dann bilden beliebige n linear unabhängige Vektoren eine Basis des Raums V. Eine Menge von n + 1 Vektoren bildet dann eine linear abhängige Menge von Vektoren.