Размерност на векторно пространство

Размерността на векторно пространство е равна на броя на елементите на базиса на това векторно пространство. Ако базисът е безкраен, казваме, че и размерността е безкрайна.

Определение на размерност на векторно пространство

Нека имаме векторно пространство V и някакъв негов базис B. Тоест е изпълнено, че B ⊆ V, множеството B съдържа линейно независими вектори и линейната обвивка на множеството B е равна на пространството V: ⟨B⟩ = V.

Ако базисът B има краен брой елементи n, казваме, че размерността на пространството V е n. Размерността означаваме с думата dim, така че dim V = |B| = n. Ако базисът B е безкраен, казваме, че размерността на пространството също е безкрайна. Тъй като всички базиси на пространството са винаги еднакво големи, няма значение кой базис ще вземем.

Пример: пространството ℝ³ има базис (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Това са общо три вектора, тоест dim ℝ³ = 3. В общия случай можем да кажем, че dim ℝⁿ = n.

Ако пространството V има размерност n, говорим за n-мерно векторно пространство.

Свойства на размерността на векторно пространство

• Нека имаме векторно пространство V и някакво негово подпространство W ⊆ V. Тогава е изпълнено, че dim W ≤ dim V.
• Нека имаме векторно пространство V с крайна размерност и някакво негово подпространство W ⊂ V. Тогава е изпълнено, че dim W < dim V. Тази точка се различава по това, че не допускаме W = V. Ако имаме подпространство W, което е по-малко от V, това подпространство ще има и по-ниска размерност. Защо? Защото съществува вектор x ∈ V ∖ W, който не е линейна комбинация на вектори от W и следователно не е линейна комбинация на вектори от никой базис на W.
• Ако пространството V има размерност n, то всеки n линейно независими вектора образуват базис на пространството V. Множество от n + 1 вектора образува линейно зависимо множество от вектори.