Dimensiunea unui spațiu vectorial

Dimensiunea unui spațiu vectorial este egală cu numărul de elemente ale bazei acestui spațiu vectorial. Dacă baza este infinită, spunem că și dimensiunea este infinită.

Definiția dimensiunii unui spațiu vectorial

Fie spațiul vectorial V și o bază B a sa. Adică B ⊆ V, mulțimea B conține vectori liniar independenți, iar acoperirea liniară a mulțimii B este egală cu spațiul V: ⟨B⟩ = V.

Dacă baza B are un număr finit n de elemente, spunem că dimensiunea spațiului V este n. Dimensiunea o notăm cu dim, deci dim V = |B| = n. Dacă baza B este infinită, spunem că și dimensiunea spațiului este infinită. Deoarece toate bazele spațiului au întotdeauna același număr de elemente, nu contează ce bază alegem.

Exemplu: spațiul ℝ³ are baza (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Sunt în total trei vectori, deci dim ℝ³ = 3. În general putem spune că dim ℝⁿ = n.

Dacă spațiul V are dimensiunea n, vorbim despre un spațiu vectorial n-dimensional.

Proprietățile dimensiunii unui spațiu vectorial

• Fie un spațiu vectorial V și un subspațiu al său W ⊆ V. Atunci dim W ≤ dim V.
• Fie un spațiu vectorial V de dimensiune finită și un subspațiu al său W ⊂ V. Atunci dim W < dim V. Acest punct diferă prin aceea că nu admitem ca W = V. Dacă avem deci un subspațiu W mai mic decât V, acest subspațiu va avea și o dimensiune mai mică. De ce? Pentru că există un vector x ∈ V ∖ W, care nu este combinație liniară a vectorilor din W și, prin urmare, nu este combinație liniară nici a vectorilor din vreo bază a lui W.
• Dacă spațiul V are dimensiunea n, atunci oricare n vectori liniar independenți formează o bază a spațiului V. O mulțime de n + 1 vectori formează atunci o mulțime de vectori liniar dependenți.