Dimension af et vektorrum

Dimensionen af et vektorrum er lig med antallet af elementer i en basis for vektorrummet. Hvis basen er uendelig, siger vi, at dimensionen også er uendelig.

Definition af dimensionen af et vektorrum

Vi har et vektorrum V og en basis B for det. Dvs. at B ⊆ V, mængden B indeholder lineært uafhængige vektorer, og det lineære udspænd af mængden B er lig med rummet V: ⟨B⟩ = V.

Hvis basen B har et endeligt antal elementer n, siger vi, at dimensionen af rummet V er n. Dimensionen betegner vi med ordet dim, så dim V = |B| = n. Hvis basen B er uendelig, siger vi, at dimensionen af rummet også er uendelig. Da alle baser for rummet altid er lige store, er det ligegyldigt, hvilken basis vi vælger.

Eksempel: rummet ℝ³ har basen (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Det er i alt tre vektorer, så dim ℝ³ = 3. Generelt kan vi sige, at dim ℝⁿ = n.

Hvis rummet V har dimensionen n, taler vi om et n-dimensionalt vektorrum.

Egenskaber ved dimensionen af et vektorrum

• Vi har et vektorrum V og et underrum W ⊆ V. Så gælder dim W ≤ dim V.
• Vi har et vektorrum V af endelig dimension og et underrum W ⊂ V. Så gælder dim W < dim V. Dette punkt adskiller sig ved, at vi ikke tillader, at W = V. Hvis vi har et underrum W, som er mindre end V, har dette underrum også en lavere dimension. Hvorfor? Fordi der findes en vektor x ∈ V ∖ W, som ikke er en linearkombination af vektorer fra W og dermed heller ikke en linearkombination af vektorer fra en vilkårlig basis for W.
• Hvis rummet V har dimensionen n, udgør vilkårlige n lineært uafhængige vektorer en basis for rummet V. En mængde af n + 1 vektorer er så en lineært afhængig mængde af vektorer.