ベクトル空間の例

前の記事ではベクトル空間（線形空間）を定義し、ふつうのベクトル空間 ℝ² を例として見ました。この記事では、ほかの例を見ていきます。

ベクトル空間 Rⁿ

すでに、a, b を実数として (a, b) の形のベクトルからなるベクトル空間 ℝ² を知っています。実は、n > 0 のとき、n 個の実数を順に並べた組全体の集合 ℝⁿ はどれもベクトル空間になります。これを示しましょう。

n = 2 のときは、組 (a, b) 全体の集合になります。n を増やして n = 3 にすると、3つの数の組全体の集合が得られます。これで平面から空間に移ります。つまり、ℝ² はふつうの平面を、ℝ³ はふつうの3次元空間を表します。

和と実数倍の演算の定義は n = 2 の場合と同じで、ベクトルのすべての成分を足したりかけたりするだけです。

$\begin{array}{rcl} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) & = & (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}) \\ k \cdot (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) & = & (k \cdot a_{1}, k \cdot a_{2}, \dots, k \cdot a_{n}) \end{array}$

ここで、ベクトル空間 ℝ³、さらに一般に ℝⁿ が、ベクトル空間の定義の7つの条件をすべて満たすことを証明すべきところです。しかし、証明はどれもほとんど同じで、2つの成分をもつベクトルの代わりに3つの成分をもつベクトルを扱うだけです。例えば、ベクトルの和の交換法則についての1つ目の条件は、n = 3 のとき次のように証明できます。

証明すべき式は $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$ で、 $\vec{x}, \vec{y} \in R^{3}$ です。2つのベクトルの和を書き出します。

$(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)$

左辺のベクトルを入れかえると、次のようになります。

$(d, e, f) + (a, b, c) = (d + a, e + b, f + c)$

2つの実数の和の性質から、得られた2つのベクトルは等しくなります。つまり、(a + d, b + e, c + f) = (d + a, e + b, f + c) です。

前の記事の n = 2 の場合の証明と比べると、証明は実質的に同じであることがわかります。ほかの6つの条件も同じように証明できます。

おもしろいことに、ℝ¹ = ℝ、つまり実数全体の集合そのものもベクトル空間です。このとき、ベクトルの和と実数倍は、実数のふつうの足し算とかけ算になります。実数の足し算とかけ算は、もちろん7つの条件をすべて満たします。

空間 ℝⁿ は、これからもきっと出てきます。ごく一般的なベクトル空間です。

m × n 型行列のベクトル空間

m 行 n 列で、成分がすべて実数である行列全体の集合は、行列の和と行列のスカラー倍の演算とともにベクトル空間をつくります。この空間を簡単に ℝ^{m × n} と書くことにします。

m = 2, n = 3 のときは、2行3列の行列になります。具体的な行列の例は次のとおりです。

$(\begin{matrix} 4 & 5 & 1 \\ 9 & 1 & 3 \end{matrix})$

和の演算を次のように定義します。

$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}) =$

$= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix})$

ふつうの行列の和です。スカラー倍も同じように定義します。

$k \cdot (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1 n} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ k \cdot a_{m 1} & k \cdot a_{m 2} & \dots & k \cdot a_{m n} \end{matrix})$

このように演算を定義すると、行列全体の集合 ℝ^{m × n} はベクトル空間になります。大切なのは、必ず同じ型の行列全体の集合を考えることです。別の型の行列がまぎれこむと困ります。例えば ℝ^{2 × 2} に 3 × 1 型の行列を加えると、3 × 1 型の行列と 2 × 2 型の行列はそもそも足せません。

ここでも、このように定義したベクトル空間が、ベクトル空間に課す7つの条件をすべて満たすことを確かめるべきところです。行列で全部書き出すと長くなりすぎる（特に書く側が大変な）ので、簡単に済ませます。

2つの行列の和は、同じ型の新しい行列になります。スカラー倍も、同じ型の新しい行列になります。したがって、演算の結果の型は合っています。

$\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$ ：行列の和は明らかに交換法則を満たします。結果の行列の ij 成分は x_ij + y_ij = y_ij + x_ij になるからです。

$(\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z})$ ：行列の和は結合法則も満たします。(x_ij + y_ij) + z_ij = x_ij + (y_ij + z_ij) だからです。
$a \cdot (b \cdot \vec{x}) = (a \cdot b) \cdot \vec{x}$ ：やはり a · (b · x_ij) = (a · b) · x_ij が成り立ちます。
$a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a \cdot \vec{x} + a \cdot \vec{y}$ ：やはり ij 成分について、等式 a · (x_ij + y_ij) = a · x_ij + a · y_ij が得られます。
$(a + b) \cdot \vec{x} = a \cdot \vec{x} + b \cdot \vec{x}$ ：ここでも ij 成分を書くだけです。(a + b) · x_ij = a · x_ij + b · x_ij となります。
$1 \cdot \vec{x} = \vec{x}$ ：1 · x_ij = x_ij なので、この条件も成り立ちます。
零元の存在：零元は零行列です。このベクトル空間のすべての行列 $\vec{x}$ について、0 · x_ij = 0 が成り立つからです。

多項式のベクトル空間

多項式（整式）は p(x) と書き、次の形の式です。

$p (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} .$

ここで a_n ≠ 0 と仮定します。このとき、この多項式の次数は n です。実数 a₀, …, a_n を多項式の係数といいます。多項式の例として、式 4 + 3x − 7x² があります。この式では a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7 で、多項式の次数は2です。係数の一部が0でもかまいません。例えば、式 x² + π x⁷ は7次の多項式で、a₂ = 1, a₇ = π、ほかの係数は0です。

多項式どうしは簡単に足せます。係数どうしを足せばよいのです。例えば、次のようになります。

$(2 + 3 x - x^{2}) + (4 - 5 x + 101 x^{2} + 5 x^{3}) = 6 - 2 x + 100 x^{2} + 5 x^{3}$

一般には、多項式の和を次のように定義できます。

$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{m} x^{m}) =$

$= (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2} + \dots + (a_{q} + b_{q}) x^{q},$

ここで、q は m と n のうち大きいほうです。多項式 p(x) の k 倍は、すべての係数に k をかければ得られます。

$k \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}) =$ $= (k \cdot a_{0}) + (k \cdot a_{1}) x + (k \cdot a_{2}) x^{2} + \dots + (k \cdot a_{n}) x^{n}$

例えば、次のようになります。

$7 \cdot (3 + 6 x - 5 x^{2}) = 21 + 42 x - 35 x^{2}$

多項式全体の集合を P(X) と書きます。和と実数倍をこのように定義すると、この集合はベクトル空間になります。確かめてみましょう。

2つの多項式の和はやはり多項式になり、スカラー倍も新しい多項式になります。したがって、ここで定義した演算の結果の型は合っています。

ベクトル空間が満たさなければならないほかの7つの性質は、宿題として各自で確かめてみましょう。証明は前の行列の場合と実質的に同じで、x_ij の代わりに x_i と書くだけです。零元となる多項式は p(x) = 0 です。

行列の場合は、ベクトル空間に同じ型の行列だけが含まれることを求めましたが、多項式ではこれを求めません。そもそも求めることができないのです。2次の多項式全体の集合を考えると、この集合はベクトル空間になりません。なぜでしょうか。反例で確かめてみましょう。次の2つの多項式を足します。

$(1 + 2 x + 3 x^{2}) + (1 + 2 x - 3 x^{2}) = 2 + 4 x$

1つ目の多項式には 3x² が、2つ目には −3x² が含まれているので、足すと 0x² になり、多項式の次数が下がってしまいました。多項式 2 + 4x は1次の多項式で、2次ではありません。

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