逆関数

逆関数とは、もとの関数と「逆向き」に値を対応させる関数です。

はじめの例

手始めに、簡単な1次関数 f(x) = 2x を考えます。この関数の値はどうなるでしょうか。たとえば、最初のいくつかの自然数では、関数の値は次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

関数に2を入れると、4が返ってきます。では、この関数の逆関数は何をすればよいでしょうか。逆向きにはたらけばよいのです。4を入れると、2が返ってくるようにします。逆関数は f⁻¹ と書き、次のように値を逆向きに対応させます。

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

どうすればそうなるでしょうか。もとの関数が変数 x の2倍を返すなら、逆関数は逆に変数 x の半分を返せばよいはずです。3を入れると、2倍して6になります。6の半分をとれば、3にもどります。したがって、逆関数は次のように書けます。

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

定義

では、逆関数をきちんと定義しましょう。関数 f を考えます。関数の定義から、f の定義域のすべての要素 x に対して、f(x) = y となる f の値域の要素 y があります。

このとき、逆関数 f⁻¹ は次の式が成り立つ関数です。

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

この定義は何を言っているのでしょうか。関数 f を引数 x で呼び出して値 y が得られるなら、逆関数を引数 y で呼び出すことができ、そのとき値 x が返ってこなければならない、ということです。

図でも確かめてみましょう。1つ目の図は、受け取った値の2倍を返すもとの関数 f を表しています。左の円は定義域、つまり x の値を選ぶ集合です。右の円は値域、つまり関数の値がとりうる値の集合です。矢印は、どの入力がどの出力に対応するかを示しています。もちろん本当は矢印が無数にあるはずで、これは関数のごく一部です。

次は逆関数の図です。逆関数の図はとてもよく似ていますが、おもに矢印の向きが変わり、定義域と値域も変わります。この2つが入れかわるのです。

もとの関数は f の定義域から f の値域への対応でしたが、逆関数は逆に f の値域から f の定義域への対応になっています。つまり、もとの関数の定義域は逆関数の値域に等しく、もとの関数の値域は逆関数の定義域に等しくなります。

逆関数が存在する条件

まず、逆関数はいつも存在するとは限りません。それは、関数の基本的な性質のためです。定義域の同じ2つの要素 a = b をとると、関数はいつも同じ結果 f(a) = f(b) を返さなければなりません。2倍を返す関数にもどると、いつでも f(5) = 10 でなければなりません。たとえば13を返して f(5) = 13 となることはありえません。関数の定義から、そうなってはいけないのです。

では、たとえば2次関数 f(x) = x² の場合を調べてみましょう。引数 x₁ = 2 と x₂ = −2 で呼び出すと、関数は何を返すでしょうか。どちらの場合も、値4を返します。

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

ここまでは問題ありません。では、逆関数はどうなるでしょうか。この2次関数の逆関数を作ろうとすると、次の2つが同時に成り立たなければなりません。

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

すでに見たように、これはありえません。関数は、同じ引数に対して異なる結果を返すことはできないからです。では、逆関数が存在するのはどんなときでしょうか。異なる2つの引数に対して、関数が同じ値を返すことがないときです。これはまさに1対1の関数の定義です。

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

関数 f の逆関数が存在するための必要十分条件は、関数 f が1対1であることです。1対1でない関数に逆関数が存在しえない理由を、図でも確かめておきましょう。2次関数 f(x) = x² の一部を矢印で表します。

矢印の向きを逆にしようとすると、次のような図になります。

1つの点から、もう一方の集合の異なる数へ2本の矢印が出ている図になりました。これは関数の定義を満たさないので、逆関数は存在しえません。

グラフの意味

逆関数が存在するとき、もとの関数のグラフと逆関数のグラフは、直線 y = x に関して対称になります。この直線は、関数 f(x) = x のグラフです。

逆関数の求め方

関数が与えられて、その逆関数を求める問題では、関数を方程式にして、その方程式を x について解きます。最初に挙げた1次関数 f(x) = 2x なら、次のように書きかえます。

$$y=2x$$

ここから始めます。目標は、x を y で表すことです。この例はすぐにできます。方程式の両辺を2で割るだけです。

$$\frac{y}{2}=x$$

これで x が表せました。したがって、逆関数は $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$ となります。次の例です。

$$f(x)=4x-7$$

方程式にして、x について解きます。

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/÷4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

逆関数は次のようになります。

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

確かめてみましょう。もとの関数に3を代入した値を計算します。

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

逆関数が正しく求められていれば、5で呼び出すと3にもどるはずです。

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

もう1つ例を見てみましょう。

$$f(x)=x^2+1$$

x について解きます。

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

ここで困ったことになりました。x² の平方根を、そのまま x とすることはできません。絶対値をつけて、次のようにする必要があります。

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

これをさきほどの方程式に代入します。

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

すると、正と負の2つの解が得られてしまいます。

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

つまり、平方根が0になる場合を除いて、1つの y に対して異なる2つの x があります。それでも、ある区間に限れば逆関数を見つけることができます。関数のグラフを見てみましょう。

すると、区間 [0, ∞) でなら逆関数が存在しうることがわかります。そこで、x₁ の式だけをとります。こうして得られる関数のグラフは、次の図のとおりです。

したがって、この区間では次の逆関数が存在すると言えます。

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$