Αντίστροφη συνάρτηση

Αντίστροφη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία «αντίστροφα» από την αρχική συνάρτηση.

Εισαγωγικό παράδειγμα

Για αρχή παίρνουμε μια απλή γραμμική συνάρτηση f(x) = 2x. Πώς θα είναι οι τιμές αυτής της συνάρτησης; Για παράδειγμα, για τους πρώτους λίγους φυσικούς αριθμούς οι τιμές θα είναι οι εξής:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Βλέπουμε ότι αν βάλουμε στη συνάρτηση το δύο, μας επιστρέφει το τέσσερα. Τι θα έπρεπε να κάνει η αντίστροφη συνάρτηση αυτής της συνάρτησης; Θα έπρεπε να λειτουργεί αντίστροφα – θα βάζαμε μέσα το τέσσερα και η συνάρτηση θα έπρεπε να μας επιστρέφει το δύο. Η αντίστροφη συνάρτηση, που τη συμβολίζουμε με f⁻¹, θα έπρεπε να αντιστοιχίζει τα στοιχεία αντίστροφα, δηλαδή ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Πώς θα το πετύχουμε; Αν η αρχική συνάρτηση επέστρεφε το διπλάσιο της παραμέτρου x, τότε η αντίστροφη συνάρτηση θα πρέπει αντίθετα να επιστρέφει το μισό της παραμέτρου x. Αν βάλουμε το τρία, μετά τον διπλασιασμό έχουμε το έξι. Αν πάρουμε το μισό του έξι, έχουμε πάλι το τρία. Η αντίστροφη συνάρτηση θα είχε λοιπόν τον εξής τύπο:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Ορισμός

Τώρα θα ορίσουμε την αντίστροφη συνάρτηση σωστά. Έστω λοιπόν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού D_f και σύνολο τιμών f(A). Από τον ορισμό της συνάρτησης ισχύει ότι για όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού D_f υπάρχει κάποιο στοιχείο y του συνόλου τιμών f(A), για το οποίο ισχύει f(x) = y.

Αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ είναι τότε η συνάρτηση για την οποία ισχύει:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Τι μας λέει αυτός ο ορισμός; Ότι αν καλέσουμε τη συνάρτηση f με όρισμα x και πάρουμε την τιμή y, τότε η αντίστροφη συνάρτηση πρέπει να μπορεί να κληθεί με όρισμα y και να επιστρέψει την τιμή x.

Ας τα δούμε όλα και σε εικόνες. Η πρώτη εικόνα παριστάνει την αρχική συνάρτηση f, που επιστρέφει το διπλάσιο της τιμής που της δίνουμε. Ο αριστερός κύκλος παριστάνει το πεδίο ορισμού, το σύνολο από το οποίο διαλέγουμε τιμές για το x. Ο δεξιός κύκλος παριστάνει το σύνολο τιμών, το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει η τιμή της συνάρτησης. Τα βέλη δείχνουν ποια είσοδος απεικονίζεται σε ποια έξοδο. Βέβαια τα βέλη θα έπρεπε να είναι άπειρα, εδώ φαίνεται μόνο ένα μικρό μέρος της συνάρτησης.

Ακολουθεί η εικόνα της αντίστροφης συνάρτησης. Η αντίστροφη συνάρτηση θα μοιάζει πολύ, κυρίως θα αλλάξει η φορά των βελών και θα αλλάξουν το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών. Αυτά επίσης ανταλλάσσουν θέσεις.

Βλέπουμε ότι η αρχική συνάρτηση απεικόνιζε από το D_f στο f(A), ενώ η αντίστροφη συνάρτηση απεικονίζει αντίθετα, από το f(A) στο D_f. Ισχύει λοιπόν ότι το πεδίο ορισμού της αρχικής συνάρτησης είναι ίσο με το σύνολο τιμών της αντίστροφης και το σύνολο τιμών της αρχικής συνάρτησης είναι ίσο με το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.

Ύπαρξη της αντίστροφης συνάρτησης

Πρώτα απ' όλα, η αντίστροφη συνάρτηση δεν υπάρχει πάντα, και αυτό εξαιτίας της βασικής ιδιότητας της συνάρτησης. Αν πάρουμε δύο ίσα στοιχεία του πεδίου ορισμού a = b, τότε η συνάρτηση πρέπει να μας επιστρέφει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα f(a) = f(b). Αν γυρίσουμε στη συνάρτηση που επέστρεφε το διπλάσιο, πρέπει πάντα να ισχύει f(5) = 10. Δεν γίνεται η συνάρτηση να μας επιστρέψει, ας πούμε, το δεκατρία: f(5) = 13 – αυτό δεν επιτρέπεται να συμβεί σε συνάρτηση, από τον ορισμό.

Ας αναλύσουμε τώρα την περίπτωση που έχουμε, για παράδειγμα, την τετραγωνική συνάρτηση f(x) = x². Τι μας επιστρέφει η συνάρτηση, αν την καλέσουμε με ορίσματα x₁ = 2 και x₂ = −2; Και στις δύο περιπτώσεις επιστρέφει την τιμή 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Μέχρι εδώ όλα καλά. Πώς όμως θα έμοιαζε η αντίστροφη συνάρτηση; Αν φτιάχναμε την αντίστροφη συνάρτηση αυτής της τετραγωνικής συνάρτησης, θα έπρεπε ταυτόχρονα να ισχύει:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Και αυτό, όπως ξέρουμε, δεν είναι δυνατό. Μια συνάρτηση δεν μπορεί να επιστρέφει διαφορετικά αποτελέσματα για τα ίδια ορίσματα. Πότε λοιπόν υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση; Όταν η συνάρτηση δεν επιστρέφει την ίδια τιμή για κανένα ζευγάρι διαφορετικών ορισμάτων. Αυτός είναι ακριβώς ο ορισμός της συνάρτησης 1-1:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Η αντίστροφη συνάρτηση της f υπάρχει αν και μόνο αν η συνάρτηση f είναι 1-1. Ας εξηγήσουμε και με εικόνες γιατί πράγματι δεν μπορεί να υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση για συνάρτηση που δεν είναι 1-1. Θα απεικονίσουμε με βέλη ένα μέρος της τετραγωνικής συνάρτησης f(x) = x²:

Αν προσπαθούσαμε να αντιστρέψουμε τα βέλη, θα παίρναμε την εξής εικόνα:

Παίρνουμε μια εικόνα όπου από ένα σημείο ξεκινούν δύο βέλη προς διαφορετικούς αριθμούς του δεύτερου συνόλου. Αυτό δεν ικανοποιεί τον ορισμό της συνάρτησης, γι' αυτό η αντίστροφη συνάρτηση δεν μπορεί να υπάρχει.

Γεωμετρική σημασία

Αν πάρεις τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε, αν υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση, οι δύο γραφικές παραστάσεις θα είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων – που είναι ταυτόχρονα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x.

Υπολογισμός της αντίστροφης συνάρτησης

Αν σου δίνεται μια συνάρτηση και ζητείται να υπολογίσεις την αντίστροφή της, προχωράς ως εξής: μετατρέπεις τη συνάρτηση σε εξίσωση και λύνεις την εξίσωση ως προς x. Την πρώτη γραμμική συνάρτηση που αναφέραμε, f(x) = 2x, την επεξεργαζόμαστε έτσι:

$$y=2x$$

Από εδώ ξεκινάμε. Στόχος είναι να εκφράσουμε το x ως προς το y. Εδώ γίνεται αρκετά γρήγορα, απλώς διαιρείς την εξίσωση με το δύο

$$\frac{y}{2}=x$$

και έχεις εκφράσει το x. Η αντίστροφη συνάρτηση θα είναι λοιπόν $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Ένα ακόμα παράδειγμα:

$$f(x)=4x-7$$

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση και λύνουμε ως προς x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Η αντίστροφη συνάρτηση θα έχει λοιπόν την εξής μορφή:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Μπορούμε να το δοκιμάσουμε. Υπολογίζουμε την τιμή της αρχικής συνάρτησης για την τιμή τρία:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Αν υπολογίσαμε σωστά την αντίστροφη συνάρτηση, τότε καλώντας την με την τιμή 5 θα πρέπει να πάρουμε πίσω το τρία:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Ένα ακόμα παράδειγμα:

$$f(x)=x^2+1$$

Λύνουμε ως προς x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Τώρα βρεθήκαμε σε δυσάρεστη κατάσταση. Την τετραγωνική ρίζα του x² δεν μπορούμε απλώς να τη γράψουμε ως x, πρέπει να προσθέσουμε απόλυτη τιμή, δηλαδή:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Αν αντικαταστήσουμε στην προηγούμενη εξίσωση:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Έτσι όμως παίρνουμε δύο αποτελέσματα, ένα θετικό και ένα αρνητικό:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Το αποτέλεσμα είναι ότι για ένα y έχουμε δύο διαφορετικά x, εκτός από την περίπτωση που η ρίζα είναι μηδέν. Μπορούμε όμως να βρούμε αντίστροφη συνάρτηση σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Αν κοιτάξουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης:

βλέπουμε ότι η αντίστροφη συνάρτηση θα μπορούσε να υπάρχει στο διάστημα [0, +∞). Μπορούμε λοιπόν να πάρουμε μόνο τη λύση x₁. Τότε παίρνουμε μια συνάρτηση, της οποίας τη γραφική παράσταση βλέπεις στην εικόνα:

Μπορούμε έτσι να πούμε ότι στο δοσμένο διάστημα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$