Funzione inversa

La funzione inversa è una funzione che associa gli elementi «al contrario» rispetto alla funzione di partenza.

Un primo esempio

Per cominciare prendiamo una semplice funzione lineare f(x) = 2x. Che aspetto hanno i valori di questa funzione? Per esempio, per i primi numeri naturali i valori della funzione sono questi:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Vediamo che se nella funzione inseriamo il 2, ci restituisce il 4. Che cosa dovrebbe fare la funzione inversa di questa funzione? Dovrebbe funzionare al contrario: dovremmo inserire il 4 e la funzione dovrebbe restituirci il 2. La funzione inversa, che indichiamo con f⁻¹, dovrebbe associare gli elementi nel verso opposto, cioè così:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Come ottenerla? Se la funzione di partenza restituiva il doppio del valore x, allora la funzione inversa deve restituire la metà del valore x. Se inseriamo il 3, dopo averlo raddoppiato otteniamo il 6. Se prendiamo la metà di 6, torniamo al 3. La funzione inversa si scrive quindi così:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definizione

Ora definiamo la funzione inversa in modo rigoroso. Consideriamo una funzione f con dominio Dom f e insieme immagine Im f. Per la definizione di funzione, per ogni elemento x del dominio Dom f esiste un elemento y dell’insieme immagine Im f tale che f(x) = y.

La funzione inversa f⁻¹ è allora la funzione per cui vale:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Che cosa ci dice questa definizione? Che se applichiamo la funzione f all’argomento x e otteniamo il valore y, allora deve essere possibile applicare la funzione inversa all’argomento y e ottenere il valore x.

Vediamolo ancora con le figure. La prima figura rappresenta la funzione di partenza f, che restituisce il doppio del valore dato. Il cerchio a sinistra rappresenta il dominio, cioè l’insieme da cui scegliamo i valori di x. Il cerchio a destra rappresenta l’insieme immagine, cioè l’insieme dei valori che la funzione può assumere. Le frecce mostrano quale ingresso viene associato a quale uscita. Naturalmente le frecce dovrebbero essere infinite: questa è solo una piccola parte della funzione.

Segue la figura della funzione inversa. Ha un aspetto molto simile: cambia soprattutto il verso delle frecce e cambiano il dominio e l’insieme immagine, che si scambiano tra loro.

Vediamo che la funzione di partenza andava da Dom f a Im f, mentre la funzione inversa va, al contrario, da Im f a Dom f. Perciò il dominio della funzione di partenza coincide con l’insieme immagine della funzione inversa, e l’insieme immagine della funzione di partenza coincide con il dominio della funzione inversa.

Esistenza della funzione inversa

Prima di tutto, la funzione inversa non esiste sempre, e questo dipende dalla proprietà fondamentale di una funzione. Se prendiamo due elementi uguali del dominio a = b, la funzione deve restituire sempre lo stesso risultato f(a) = f(b). Tornando alla funzione che restituiva il doppio, deve valere sempre f(5) = 10. Non può succedere che la funzione ci restituisca, per esempio, tredici: f(5) = 13. Per definizione, in una funzione questo non può accadere.

Ora proviamo ad analizzare il caso della funzione quadratica f(x) = x². Che cosa ci restituisce la funzione se la applichiamo agli argomenti x₁ = 2 e x₂ = −2? In entrambi i casi restituisce il valore 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Fin qui tutto bene. Ma che aspetto avrebbe la funzione inversa? Se costruissimo la funzione inversa di questa funzione quadratica, dovrebbe valere contemporaneamente:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

E, come sappiamo, questo non è possibile. Una funzione non può restituire risultati diversi per gli stessi argomenti. Quando esiste, dunque, la funzione inversa? Quando la funzione non restituisce lo stesso valore per due argomenti diversi. Questa è proprio la definizione di funzione iniettiva:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

La funzione inversa di f esiste se e solo se f è iniettiva. Spieghiamo ancora con le figure perché non può esistere la funzione inversa di una funzione che non è iniettiva. Rappresentiamo con le frecce una parte della funzione quadratica f(x) = x²:

Se provassimo a invertire le frecce, otterremmo questa figura:

Otteniamo una figura in cui da un punto partono due frecce verso numeri diversi del secondo insieme. Questo non rispetta la definizione di funzione, quindi la funzione inversa non può esistere.

Significato grafico

Se disegni il grafico di una funzione e la funzione inversa esiste, i due grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, che è anche il grafico della funzione f(x) = x.

Calcolo della funzione inversa

Se hai una funzione e devi calcolarne la funzione inversa, si procede così: trasformi la funzione in un’equazione e ricavi x. Prendiamo per prima la funzione lineare f(x) = 2x e trasformiamola così:

$$y=2x$$

Cominciamo da qui. L’obiettivo è esprimere x in funzione di y. In questo caso è piuttosto rapido: basta dividere l’equazione per due

$$\frac{y}{2}=x$$

e hai ricavato x. La funzione inversa sarà quindi $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Un altro esempio:

$$f(x)=4x-7$$

Passiamo all’equazione e ricaviamo x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

La funzione inversa sarà quindi questa:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Possiamo verificarlo. Calcoliamo il valore della funzione di partenza per il valore tre:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Se abbiamo calcolato correttamente la funzione inversa, applicandola al valore 5 dovremmo riottenere il tre:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Un altro esempio:

$$f(x)=x^2+1$$

Ricaviamo x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Ora ci troviamo in una situazione spiacevole. Infatti non possiamo semplicemente fare la radice di x² e ottenere x: dobbiamo aggiungere il valore assoluto, cioè:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Sostituendo nell’equazione precedente:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

In questo modo otteniamo però due risultati, uno positivo e uno negativo:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Il risultato è che per uno stesso y abbiamo due valori diversi di x, tranne quando la radice è nulla. Tuttavia possiamo trovare la funzione inversa su un certo intervallo. Osservando il grafico della funzione:

vediamo che la funzione inversa potrebbe esistere sull’intervallo [0; +∞). Possiamo quindi prendere solo la soluzione per x₁. A questo punto otteniamo una funzione il cui grafico vedi nella figura:

Possiamo quindi dire che su questo intervallo esiste la funzione inversa

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$