Ters Fonksiyon

Ters fonksiyon, elemanları asıl fonksiyonun yaptığının “tersine” eşleyen fonksiyondur.

Giriş Örneği

Başlangıç olarak basit bir doğrusal fonksiyon alalım: f(x) = 2x. Bu fonksiyonun fonksiyon değerleri nasıl görünür? Örneğin ilk birkaç pozitif tam sayı için fonksiyon değerleri şöyledir:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Fonksiyona ikiyi verirsek bize dördü döndürdüğünü görüyoruz. Bu fonksiyonun ters fonksiyonu ne yapmalı? Tersine çalışmalı — ona dördü vermeliyiz ve fonksiyon bize ikiyi döndürmelidir. f⁻¹ ile gösterdiğimiz ters fonksiyon elemanları ters yönde eşlemelidir, yani şöyle:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Bunu nasıl sağlarız? Asıl fonksiyon x parametresinin iki katını döndürüyorsa, ters fonksiyon tam tersine x parametresinin yarısını döndürmelidir. Üçü verirsek iki katıyla altıyı elde ederiz. Altının yarısını alırsak yine üçe döneriz. O zaman ters fonksiyonun yazılışı şöyle olur:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Tanım

Şimdi ters fonksiyonu düzgünce tanımlayalım. Tanım kümesi A ve görüntü kümesi f(A) olan bir f fonksiyonu alalım. Fonksiyon tanımından biliyoruz ki tanım kümesi A’daki her x elemanı için görüntü kümesi f(A)’da f(x) = y eşitliğini sağlayan bir y elemanı vardır.

Ters fonksiyon f⁻¹ ise şu koşulu sağlayan fonksiyondur:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Bu tanım bize ne söylüyor? f fonksiyonunu x argümanıyla çağırıp y değerini elde edersek, ters fonksiyonu y argümanıyla çağırabilmeliyiz ve x değerini döndürmelidir.

Hepsini bir de şekillerle gösterelim. İlk şekil, verilen değerin iki katını döndüren asıl f fonksiyonunu gösteriyor. Soldaki daire tanım kümesini, yani x yerine seçtiğimiz değerlerin kümesini gösteriyor. Sağdaki daire görüntü kümesini, yani fonksiyon değerinin alabileceği değerlerin kümesini gösteriyor. Oklar hangi girdinin hangi çıktıya gittiğini gösteriyor. Elbette sonsuz sayıda ok olmalı, bu fonksiyonun yalnızca küçük bir parçası.

Sırada ters fonksiyonun şekli var. Ters fonksiyon çok benzer görünecek; her şeyden önce okların yönü ve ayrıca tanım kümesiyle görüntü kümesi değişir. Bu ikisi de yer değiştirir.

Asıl fonksiyonun A’dan f(A)’ya eşlediğini, ters fonksiyonun ise tersine f(A)’dan A’ya eşlediğini görüyoruz. Yani asıl fonksiyonun tanım kümesi ters fonksiyonun görüntü kümesine, asıl fonksiyonun görüntü kümesi ise ters fonksiyonun tanım kümesine eşittir.

Ters Fonksiyonun Var Olması

Her şeyden önce ters fonksiyon her zaman var olmaz, bunun nedeni fonksiyonun temel özelliğidir. Tanım kümesinden birbirine eşit iki eleman a = b alırsak, fonksiyon her zaman aynı sonucu döndürmelidir: f(a) = f(b). İki katını döndüren fonksiyona dönersek, her zaman f(5) = 10 olmalıdır. Fonksiyonun örneğin on üç döndürmesi, yani f(5) = 13, olamaz — bu, tanım gereği bir fonksiyonda asla olmamalıdır.

Şimdi örneğin ikinci dereceden fonksiyon f(x) = x² için durumu inceleyelim. Fonksiyonu x₁ = 2 ve x₂ = −2 argümanlarıyla çağırırsak ne döndürür? İki durumda da 4 değerini döndürür:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Buraya kadar sorun yok. Peki ters fonksiyon nasıl olurdu? Bu ikinci dereceden fonksiyonun ters fonksiyonunu kursaydık, aynı anda şunlar da geçerli olmalıydı:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Bildiğimiz gibi bu mümkün değil. Bir fonksiyon aynı argümanlar için farklı sonuçlar döndüremez. O hâlde ters fonksiyon ne zaman vardır? Fonksiyon hiçbir iki girdi argümanı için aynı değeri döndürmüyorsa. Bu da tam olarak bire bir fonksiyonun tanımıdır:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

f fonksiyonunun ters fonksiyonu ancak ve ancak f bire bir olduğunda vardır. Bire bir olmayan bir fonksiyonun ters fonksiyonunun neden gerçekten var olamayacağını bir de şekillerle açıklayalım. f(x) = x² ikinci dereceden fonksiyonunun bir kısmını oklarla gösterelim:

Okları ters çevirmeye çalışırsak şöyle bir şekil elde ederiz:

Bir noktadan ikinci kümedeki iki farklı sayıya giden iki ok olan bir şekil elde ediyoruz. Bu, fonksiyon tanımını sağlamaz, bu yüzden ters fonksiyon var olamaz.

Grafiksel Anlam

Bir fonksiyonun grafiğini alırsan, ters fonksiyon varsa bu iki grafik, I. ve III. bölgenin açıortayına göre simetriktir — bu doğru aynı zamanda f(x) = x fonksiyonunun grafiğidir.

Ters Fonksiyonun Hesaplanması

Bir fonksiyon verilmiş ve ters fonksiyonunu hesaplaman isteniyorsa, fonksiyonu bir denkleme çevirir ve denklemden x’i yalnız bırakırsın. Yani ilk söz ettiğimiz f(x) = 2x doğrusal fonksiyonunu şöyle düzenleriz:

$$y=2x$$

Buradan başlarız. Amaç x’i y cinsinden ifade etmektir. Burada oldukça hızlı olur, denklemi sadece ikiye bölersin

$$\frac{y}{2}=x$$

ve x ifade edilmiş olur. Ters fonksiyon böylece $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$ olur. Bir örnek daha:

$$f(x)=4x-7$$

Denklemde yerine yazıp x’i yalnız bırakırız:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Ters fonksiyon şöyle olur:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Bunu deneyebiliriz. Asıl fonksiyonun fonksiyon değerini üç için hesaplayalım:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Ters fonksiyonu doğru hesapladıysak, 5 değeriyle çağırdığımızda geri üçü elde etmeliyiz:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Bir örnek daha:

$$f(x)=x^2+1$$

x’i yalnız bırakırız:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Şimdi hoş olmayan bir duruma geldik. x²’nin karekökünü öylece x olarak alamayız, mutlak değer eklememiz gerekir, yani:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Bunu önceki denklemde yerine yazarsak:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Ama bu bize biri pozitif, diğeri negatif iki sonuç verir:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Sonuç olarak, kökün sıfır olduğu durum dışında, bir y için iki farklı x bulduk. Yine de ters fonksiyonu belirli bir aralıkta bulabiliriz. Fonksiyonun grafiğine bakarsak:

ters fonksiyonun [0,∞) aralığında var olabileceğini görürüz. Bu durumda yalnızca x₁ çözümünü alabiliriz. Şimdi grafiğini şekilde göreceğin bir fonksiyon elde ederiz:

Böylece verilen aralıkta ters fonksiyonun var olduğunu söyleyebiliriz:

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$