Funcția inversă

Funcția inversă este funcția care asociază elementele „invers” față de funcția inițială.

Exemplu introductiv

Pentru început luăm o funcție de gradul întâi simplă, f(x) = 2x. Cum arată valorile acestei funcții? De exemplu, pentru primele câteva numere naturale valorile sunt:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Observăm că, dacă introducem în funcție numărul doi, obținem patru. Ce ar trebui să facă funcția inversă a acesteia? Ar trebui să funcționeze invers — să introducem patru și funcția să ne dea doi. Funcția inversă, pe care o notăm f⁻¹, ar trebui să asocieze elementele invers, adică așa:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Cum se procedează? Dacă funcția inițială returna dublul parametrului x, atunci funcția inversă ar trebui să returneze, dimpotrivă, jumătatea parametrului x. Dacă introducem trei, după dublare obținem șase. Dacă luăm jumătate din șase, ne întoarcem la trei. Funcția inversă s-ar scrie deci astfel:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definiție

Să definim acum funcția inversă cum trebuie. Fie o funcție f cu domeniul de definiție D_f și imaginea Im f. Din definiția funcției rezultă că pentru orice element x din domeniul de definiție D_f există un element y din imaginea Im f astfel încât f(x) = y.

Funcția inversă f⁻¹ este atunci funcția pentru care are loc:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Ce ne spune această definiție? Că, dacă apelăm funcția f cu argumentul x și obținem astfel valoarea y, atunci trebuie să putem apela funcția inversă cu argumentul y și ea trebuie să returneze valoarea x.

Să arătăm totul și în figuri. Prima figură reprezintă funcția inițială f, care returnează dublul valorii primite. Cercul din stânga reprezintă domeniul de definiție, mulțimea din care alegem valorile lui x. Cercul din dreapta reprezintă imaginea funcției, mulțimea valorilor pe care le poate lua funcția. Săgețile arată ce intrare se transformă în ce ieșire. Desigur, ar trebui să fie infinit de multe săgeți, aici este doar o mică parte a funcției.

Urmează figura funcției inverse. Funcția inversă arată foarte asemănător, se schimbă mai ales sensul săgeților, iar domeniul de definiție și imaginea se schimbă între ele.

Vedem că funcția inițială transforma elementele din D_f în Im f, dar funcția inversă le transformă invers, din Im f în D_f. Prin urmare, domeniul de definiție al funcției inițiale este egal cu imaginea funcției inverse, iar imaginea funcției inițiale este egală cu domeniul de definiție al funcției inverse.

Existența funcției inverse

În primul rând, funcția inversă nu există întotdeauna, din cauza proprietății de bază a funcției. Dacă luăm două elemente egale din domeniul de definiție, a = b, funcția trebuie să returneze întotdeauna același rezultat, f(a) = f(b). Să ne întoarcem la funcția care returna dublul: trebuie să fie mereu adevărat că f(5) = 10. Nu se poate ca funcția să ne returneze, de exemplu, treisprezece: f(5) = 13 — așa ceva nu are voie să se întâmple la o funcție, prin definiție.

Acum să analizăm situația în care avem, de exemplu, funcția de gradul al doilea f(x) = x². Ce ne returnează funcția dacă o apelăm cu argumentele x₁ = 2 și x₂ = −2? În ambele cazuri funcția returnează valoarea 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Până aici totul este în regulă. Dar cum ar arăta funcția inversă? Dacă am construi inversa acestei funcții de gradul al doilea, ar trebui să aibă loc simultan:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Și, după cum știm, asta nu este posibil. O funcție nu poate returna rezultate diferite pentru aceleași argumente. Când există atunci funcția inversă? Dacă pentru nicio pereche de argumente diferite funcția nu returnează aceeași valoare. Aceasta este exact definiția funcției injective:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Funcția inversă a funcției f există dacă și numai dacă funcția f este injectivă. Să lămurim în figuri de ce nu poate exista funcția inversă a unei funcții care nu este injectivă. Reprezentăm prin săgeți o parte din funcția de gradul al doilea f(x) = x²:

Dacă am încerca să inversăm săgețile, am obține figura următoare:

Obținem o figură în care dintr-un punct pleacă două săgeți spre numere diferite din a doua mulțime. Aceasta nu respectă definiția funcției, de aceea funcția inversă nu poate exista.

Interpretarea grafică

Dacă luăm graficul unei funcții și funcția inversă există, atunci cele două grafice sunt simetrice față de bisectoarea cadranelor I și III — care este totodată graficul funcției f(x) = x.

Calcularea funcției inverse

Dacă ți se dă o funcție și trebuie să-i calculezi inversa, procedezi astfel: transformi funcția în ecuație și exprimi x din ecuație. Funcția de gradul întâi f(x) = 2x de la început o transformăm astfel:

$$y=2x$$

Cu aceasta începem. Scopul este să-l exprimăm pe x în funcție de y. Aici merge repede, pur și simplu împărțim ecuația la doi:

$$\frac{y}{2}=x$$

și avem x exprimat. Funcția inversă va fi deci $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Un alt exemplu:

$$f(x)=4x-7$$

Înlocuim în ecuație și exprimăm x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Funcția inversă va arăta deci așa:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Putem verifica. Calculăm valoarea funcției inițiale pentru trei:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Dacă am calculat corect funcția inversă, ar trebui ca apelând-o cu valoarea 5 să obținem înapoi trei:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Un alt exemplu:

$$f(x)=x^2+1$$

Exprimăm x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Acum am ajuns într-o situație neplăcută. Din x² nu putem pur și simplu extrage radicalul ca să obținem x, trebuie să adăugăm modulul, adică:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Dacă înlocuim în ecuația anterioară:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Obținem astfel două rezultate, unul pozitiv și unul negativ:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Rezultă că pentru un y avem două valori diferite ale lui x, cu excepția cazului în care radicalul este zero. Totuși, putem găsi funcția inversă pe un anumit interval. Dacă privim graficul funcției:

constatăm că funcția inversă ar putea exista pe intervalul [0, +∞). Putem lua deci doar expresia pentru x₁. În acest moment obținem o funcție al cărei grafic îl vezi în figură:

Putem spune astfel că pe intervalul dat există funcția inversă

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$