Käänteisfunktio

Käänteisfunktio on funktio, joka liittää alkiot toisin päin kuin alkuperäinen funktio.

Johdanto

Aloitetaan yksinkertaisella lineaarisella funktiolla f(x) = 2x. Millaisia tämän funktion arvot ovat? Esimerkiksi muutamalle ensimmäiselle luonnolliselle luvulle funktion arvot ovat seuraavat:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Nähdään, että kun funktioon syötetään kakkonen, saadaan tulokseksi nelonen. Mitä tämän funktion käänteisfunktion pitäisi tehdä? Sen pitäisi toimia päinvastoin: siihen syötetään nelonen, ja funktion pitäisi palauttaa kakkonen. Käänteisfunktio, jota merkitään f⁻¹, liittäisi alkiot toisin päin eli näin:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Miten tämä saadaan aikaan? Jos alkuperäinen funktio palautti muuttujan x kaksinkertaisen arvon, käänteisfunktion pitää päinvastoin palauttaa muuttujan x puolikas. Kun syötetään kolmonen, kaksinkertaistamalla saadaan kuusi. Kun kuudesta otetaan puolet, saadaan takaisin kolmonen. Käänteisfunktio voidaan siis kirjoittaa näin:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Määritelmä

Määritellään nyt käänteisfunktio kunnolla. Tarkastellaan funktiota f, jolla on määrittelyjoukko ja arvojoukko. Määrittelyjoukon jokaista alkiota x vastaa funktion määritelmän mukaan jokin arvojoukon alkio y, jolle pätee f(x) = y.

Käänteisfunktio f⁻¹ on tällöin funktio, jolle pätee:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Mitä tämä määritelmä kertoo? Jos funktiota f kutsutaan argumentilla x ja saadaan arvo y, käänteisfunktiota täytyy voida kutsua argumentilla y, ja sen täytyy palauttaa arvo x.

Havainnollistetaan asia vielä kuvilla. Ensimmäinen kuva esittää alkuperäistä funktiota f, joka palauttaa annetun arvon kaksinkertaisen. Vasen ympyrä esittää määrittelyjoukkoa eli joukkoa, josta x:n arvot valitaan. Oikea ympyrä esittää arvojoukkoa eli joukkoa, jonka arvoja funktion arvo voi saada. Nuolet osoittavat, mikä syöte kuvautuu millekin tulokselle. Nuolia pitäisi tietysti olla äärettömän monta, kuvassa näkyy vain pieni osa funktiosta.

Seuraavassa kuvassa on käänteisfunktio. Se näyttää hyvin samanlaiselta: ennen kaikkea nuolten suunta muuttuu, ja määrittelyjoukko ja arvojoukko vaihtavat paikkaa.

Nähdään, että alkuperäinen funktio kuvasi määrittelyjoukosta arvojoukkoon, mutta käänteisfunktio kuvaa päinvastoin arvojoukosta määrittelyjoukkoon. Alkuperäisen funktion määrittelyjoukko on siis sama kuin käänteisfunktion arvojoukko, ja alkuperäisen funktion arvojoukko on sama kuin käänteisfunktion määrittelyjoukko.

Käänteisfunktion olemassaolo

Ensinnäkin käänteisfunktio ei aina ole olemassa, ja syy on funktion perusominaisuus. Jos otetaan määrittelyjoukosta kaksi samaa alkiota a = b, funktion on aina palautettava sama tulos f(a) = f(b). Palataan funktioon, joka palautti kaksinkertaisen arvon: aina täytyy päteä f(5) = 10. Ei voi käydä niin, että funktio palauttaisi vaikkapa luvun kolmetoista: f(5) = 13. Tämä ei määritelmän mukaan ole funktiolle mahdollista.

Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa on esimerkiksi toisen asteen polynomifunktio f(x) = x². Mitä funktio palauttaa, kun sitä kutsutaan argumenteilla x₁ = 2 ja x₂ = −2? Molemmissa tapauksissa funktio palauttaa arvon 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Tähän asti kaikki on kunnossa. Mutta miltä käänteisfunktio näyttäisi? Jos tälle toisen asteen funktiolle muodostettaisiin käänteisfunktio, samanaikaisesti pitäisi päteä:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Kuten tiedetään, tämä ei ole mahdollista. Funktio ei voi palauttaa eri tuloksia samoille argumenteille. Milloin käänteisfunktio siis on olemassa? Silloin, kun funktio ei palauta samaa arvoa millekään kahdelle eri argumentille. Tämä on täsmälleen injektion määritelmä:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Funktiolla f on käänteisfunktio täsmälleen silloin, kun funktio f on injektio. Selvitetään vielä kuvilla, miksi käänteisfunktiota ei voi olla funktiolle, joka ei ole injektio. Kuvataan nuolilla osa toisen asteen funktiosta f(x) = x²:

Jos nuolet yritettäisiin kääntää, saataisiin tällainen kuva:

Saadaan kuva, jossa yhdestä pisteestä lähtee kaksi nuolta eri lukuihin toisessa joukossa. Tämä ei täytä funktion määritelmää, joten käänteisfunktiota ei voi olla olemassa.

Graafinen tulkinta

Jos funktiolla on käänteisfunktio, näiden funktioiden kuvaajat ovat symmetriset suoran y = x suhteen. Suora y = x on samalla funktion f(x) = x kuvaaja.

Käänteisfunktion laskeminen

Kun funktio on annettu ja tehtävänä on laskea sen käänteisfunktio, edetään niin, että funktiosta tehdään yhtälö ja ratkaistaan yhtälöstä x. Ensin mainittu lineaarinen funktio f(x) = 2x muokataan siis näin:

$$y=2x$$

Näin aloitetaan. Tavoitteena on ilmaista x muuttujan y avulla. Tässä se onnistuu nopeasti: yhtälö jaetaan kahdella

$$\frac{y}{2}=x$$

ja x on ratkaistu. Käänteisfunktio on siis $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Toinen esimerkki:

$$f(x)=4x-7$$

Sijoitetaan yhtälöön ja ratkaistaan x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Käänteisfunktio on siis tämä:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Tarkistetaan tulos. Lasketaan alkuperäisen funktion arvo kohdassa kolme:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Jos käänteisfunktio on laskettu oikein, arvolla 5 kutsuttaessa pitäisi saada takaisin kolmonen:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Vielä yksi esimerkki:

$$f(x)=x^2+1$$

Ratkaistaan x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Nyt ollaan hankalassa tilanteessa. Lausekkeesta x² ei nimittäin voi vain ottaa neliöjuurta ja saada x, vaan mukaan on otettava itseisarvo, eli:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Sijoitetaan edelliseen yhtälöön:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Tästä saadaan kuitenkin kaksi tulosta, yksi positiivinen ja toinen negatiivinen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Tuloksena on, että yhtä y:n arvoa vastaa kaksi eri x:n arvoa, paitsi silloin, kun neliöjuuri on nolla. Käänteisfunktion voi kuitenkin löytää tietyltä väliltä. Kun tarkastellaan funktion kuvaajaa:

huomataan, että käänteisfunktio voisi olla olemassa välillä [0, ∞[. Voidaan siis ottaa mukaan vain ratkaisu x₁. Silloin saadaan funktio, jonka kuvaaja näkyy kuvassa:

Voidaan siis sanoa, että kyseisellä välillä on olemassa käänteisfunktio

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$