Función inversa

La función inversa es aquella que asigna los elementos «al revés» de como lo hace la función original.

Ejemplo introductorio

Para empezar, tomemos una sencilla función lineal, f(x) = 2x. ¿Qué aspecto tendrán los valores de esta función? Por ejemplo, para los primeros números naturales los valores de la función serán así:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Vemos que si introducimos en la función el dos, nos devuelve el cuatro. ¿Qué debería hacer la función inversa de esta función? Debería funcionar al revés: tendríamos que introducir en ella el cuatro y la función debería devolvernos el dos. La función inversa, que escribimos f⁻¹, debería aplicar los elementos al revés, es decir, así:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

¿Cómo conseguirlo? Si la función original devolvía el doble del parámetro x, la función inversa debería devolver, al contrario, la mitad del parámetro x. Si introducimos el tres, tras duplicarlo tenemos el seis. Si tomamos la mitad del seis, tenemos de nuevo el tres. La función inversa se escribiría entonces así:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definición

Ahora vamos a definir la función inversa como es debido. Tenemos una función f con dominio Dom f y recorrido Rg f. Por la definición de función, para todos los elementos x del dominio Dom f hay un elemento y del recorrido Rg f para el que se cumple f(x) = y.

La función inversa f⁻¹ es entonces la función para la que se cumple:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

¿Qué nos dice esta definición? Que si llamamos a la función f con el argumento x y obtenemos así el valor y, entonces la función inversa se tiene que poder llamar con el argumento y y tiene que devolver el valor x.

Lo vamos a mostrar además en figuras. La primera figura representa la función original f, que devuelve el doble del valor que se le pasa. El círculo de la izquierda representa el dominio, el conjunto del que elegimos los valores de x. El círculo de la derecha representa el recorrido, el conjunto de valores que puede tomar el valor de la función. Las flechas indican qué entrada se aplica en qué salida. Por supuesto, debería haber infinitas flechas; esto es solo una pequeña parte de la función.

A continuación, la figura de la función inversa. La función inversa tendrá un aspecto muy parecido; sobre todo cambiará el sentido de las flechas y cambiarán el dominio y el recorrido. Estos también se intercambian.

Vemos que la función original aplicaba de Dom f en Rg f, pero la función inversa aplica al contrario, de Rg f en Dom f. Por tanto, el dominio de la función original es igual al recorrido de la función inversa, y el recorrido de la función original es igual al dominio de la función inversa.

Existencia de la función inversa

Ante todo, la función inversa no siempre tiene por qué existir, y ello se debe a la propiedad básica de una función. Si tomamos dos elementos iguales del dominio, a = b, la función tiene que devolvernos siempre el mismo resultado, f(a) = f(b). Volviendo a la función que devolvía el doble, siempre tiene que cumplirse que f(5) = 10. No puede ocurrir que la función nos devuelva, por ejemplo, trece: f(5) = 13. Esto, por definición, no puede suceder en una función.

Y ahora intentemos analizar la situación en la que tenemos, por ejemplo, la función cuadrática f(x) = x². ¿Qué nos devuelve la función si la llamamos con los argumentos x₁ = 2 y x₂ = −2? En ambos casos devuelve el valor 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Hasta aquí, todo en orden. Pero ¿qué aspecto tendría la función inversa? Si construyéramos la función inversa de esta función cuadrática, tendría que cumplirse a la vez:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Y eso, como sabemos, no es posible. Una función no puede devolver resultados distintos para el mismo argumento. ¿Cuándo existe entonces la función inversa? Cuando la función no devuelve el mismo valor para dos argumentos de entrada cualesquiera. Que es justo la definición de función inyectiva:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

La función inversa de la función f existe si y solo si la función f es inyectiva. Vamos a aclarar todavía con figuras por qué realmente no puede existir la función inversa de una función que no es inyectiva. Representemos con flechas una parte de la función cuadrática f(x) = x²:

Si intentáramos invertir las flechas, obtendríamos esta figura:

Obtenemos una figura en la que de un mismo punto salen dos flechas hacia números distintos del segundo conjunto. Eso no cumple la definición de función, y por eso la función inversa no puede existir.

Significado gráfico

Si tomas la gráfica de una función y existe su función inversa, ambas gráficas serán simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, que a la vez es la gráfica de la función f(x) = x.

Cálculo de la función inversa

Si tienes dada una función y la tarea es calcular su función inversa, se procede así: conviertes la función en una ecuación y despejas x de la ecuación. Así, la función lineal mencionada en primer lugar, f(x) = 2x, la transformamos de este modo:

$$y=2x$$

Con esto empezamos. El objetivo es expresar x en función de y. Aquí es bastante rápido: simplemente divides la ecuación entre dos

$$\frac{y}{2}=x$$

y tienes expresada x. La función inversa será, por tanto, $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Otro ejemplo:

$$f(x)=4x-7$$

Pasamos a la ecuación y despejamos x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

La función inversa tendrá entonces este aspecto:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Podemos comprobarlo. Calculamos el valor de la función original para el valor tres:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Si hemos calculado bien la función inversa, al llamarla con el valor 5 deberíamos recuperar el tres:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Otro ejemplo:

$$f(x)=x^2+1$$

Despejamos x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Ahora hemos llegado a una situación incómoda. Y es que a x² no podemos simplemente extraerle la raíz para obtener x; tenemos que añadir el valor absoluto, es decir:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Si lo sustituimos en la ecuación anterior:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Pero así obtenemos dos resultados, uno positivo y otro negativo:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

El resultado es que para un mismo y tenemos dos x distintos, salvo cuando la raíz sea cero. No obstante, podemos hallar la función inversa en un determinado intervalo. Si observamos la gráfica de la función:

vemos que la función inversa podría existir en el intervalo [0, +∞). Podemos tomar entonces solo el despeje para x₁. En este momento obtenemos una función cuya gráfica verás en la figura:

Podemos decir, por tanto, que en el intervalo dado existe la función inversa

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$