Invers funksjon

En invers funksjon er en funksjon som tilordner elementene «motsatt vei» av den opprinnelige funksjonen.

Innledende eksempel

Til å begynne med tar vi en enkel lineær funksjon f(x) = 2x. Hvordan ser funksjonsverdiene til denne funksjonen ut? For de første naturlige tallene ser funksjonsverdiene for eksempel slik ut:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Vi ser at hvis vi legger to inn i funksjonen, får vi fire tilbake. Hva bør den inverse funksjonen til denne funksjonen gjøre? Den bør virke motsatt: vi legger inn fire, og funksjonen bør gi oss to tilbake. Den inverse funksjonen, som vi skriver f⁻¹, bør avbilde elementene motsatt vei, altså slik:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Hvordan får vi det til? Hvis den opprinnelige funksjonen ga tilbake det dobbelte av parameteren x, må den inverse funksjonen i stedet gi tilbake halvparten av parameteren x. Hvis vi legger inn tre, får vi seks etter dobling. Hvis vi tar halvparten av seks, har vi tre tilbake. Den inverse funksjonen ville da skrives slik:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definisjon

Nå definerer vi den inverse funksjonen ordentlig. La oss ha en funksjon f med definisjonsmengde D_f og verdimengde V_f. Fra definisjonen av en funksjon gjelder det at for alle elementer x i definisjonsmengden D_f har vi et element y i verdimengden V_f slik at f(x) = y.

Den inverse funksjonen f⁻¹ er da en funksjon som oppfyller:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Hva forteller denne definisjonen oss? At hvis vi kaller opp funksjonen f med argumentet x og får verdien y, så må vi kunne kalle opp den inverse funksjonen med argumentet y og få verdien x tilbake.

Vi viser det også på figurer. Den første figuren viser den opprinnelige funksjonen f, som gir tilbake det dobbelte av verdien den får. Den venstre sirkelen er definisjonsmengden, mengden vi velger verdier for x fra. Den høyre sirkelen er verdimengden, mengden av verdier funksjonsverdien kan ha. Pilene viser hvilken inputverdi som avbildes på hvilken outputverdi. Det skulle selvfølgelig vært uendelig mange piler, dette er bare en liten del av funksjonen.

Så følger en figur av den inverse funksjonen. Den ser veldig lik ut. Framfor alt skifter pilene retning, og definisjonsmengden og verdimengden bytter plass.

Vi ser at funksjonen opprinnelig avbildet fra D_f til V_f, men den inverse funksjonen avbilder motsatt, fra V_f til D_f. Det gjelder altså at definisjonsmengden til den opprinnelige funksjonen er lik verdimengden til den inverse funksjonen, og verdimengden til den opprinnelige funksjonen er lik definisjonsmengden til den inverse funksjonen.

Når den inverse funksjonen finnes

Først og fremst gjelder det at den inverse funksjonen ikke alltid finnes, og det skyldes den grunnleggende egenskapen til en funksjon. Hvis vi tar to like elementer i definisjonsmengden, a = b, må funksjonen alltid gi samme resultat, f(a) = f(b). For funksjonen som ga tilbake det dobbelte må det alltid gjelde at f(5) = 10. Det kan ikke skje at funksjonen gir for eksempel tretten tilbake: f(5) = 13. Dette kan etter definisjonen ikke skje for en funksjon.

La oss nå analysere en situasjon der vi for eksempel har andregradsfunksjonen f(x) = x². Hva gir funksjonen tilbake hvis vi kaller den opp med argumentene x₁ = 2 og x₂ = −2? Funksjonen gir verdien 4 i begge tilfellene:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Så langt er det i orden. Men hvordan ville den inverse funksjonen sett ut? Hvis vi laget den inverse funksjonen til denne andregradsfunksjonen, måtte det samtidig gjelde:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Og det er, som vi vet, ikke mulig. En funksjon kan ikke gi ulike resultater for samme argument. Når finnes da den inverse funksjonen? Hvis funksjonen ikke gir samme verdi for to ulike inputargumenter. Det er nøyaktig definisjonen av en injektiv funksjon:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Den inverse funksjonen til en funksjon f finnes hvis og bare hvis funksjonen f er injektiv. Vi forklarer også på figurer hvorfor det virkelig ikke kan finnes en invers funksjon til en funksjon som ikke er injektiv. Vi viser en del av andregradsfunksjonen f(x) = x² med piler:

Hvis vi prøvde å snu pilene, ville vi fått dette bildet:

Vi får en figur der to piler går ut fra ett punkt til ulike tall i den andre mengden. Det oppfyller ikke definisjonen av en funksjon, og derfor kan ikke den inverse funksjonen finnes.

Grafisk betydning

Hvis du tar grafen til en funksjon, og den inverse funksjonen finnes, vil de to grafene være speilsymmetriske om halveringslinjen for 1. og 3. kvadrant, som samtidig er grafen til funksjonen f(x) = x.

Å regne ut den inverse funksjonen

Hvis du har en funksjon og skal finne den inverse funksjonen, gjør du funksjonen om til en likning og isolerer x i likningen. Den først nevnte lineære funksjonen f(x) = 2x omformer vi slik:

$$y=2x$$

Slik begynner vi. Målet er å uttrykke x ved y. Her går det ganske raskt, vi deler likningen på to

$$\frac{y}{2}=x$$

og har uttrykt x. Den inverse funksjonen blir altså $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Et nytt eksempel:

$$f(x)=4x-7$$

Vi setter inn i likningen og isolerer x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Den inverse funksjonen ser da slik ut:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Vi kan kontrollere det. Vi regner ut funksjonsverdien til den opprinnelige funksjonen med verdien tre:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Hvis vi har regnet ut den inverse funksjonen riktig, bør vi få tre tilbake når vi kaller den opp med verdien 5:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Et nytt eksempel:

$$f(x)=x^2+1$$

Vi isolerer x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Nå har vi kommet i en ubehagelig situasjon. Vi kan nemlig ikke bare ta kvadratroten av x² og få x, vi må bruke absoluttverdi, altså:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Når vi setter det inn i den forrige likningen:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Da får vi imidlertid to løsninger, en positiv og en negativ:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Resultatet er at vi for ett y har to ulike x, bortsett fra når kvadratroten er null. Vi kan likevel finne en invers funksjon på et bestemt intervall. Når vi ser på grafen til funksjonen:

ser vi at den inverse funksjonen kan finnes på intervallet [0, → ⟩. Vi kan altså bare bruke løsningen for x₁. Da får vi en funksjon med grafen på figuren:

Vi kan altså si at det på dette intervallet finnes en invers funksjon

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$