Invers funktion

En invers funktion är en funktion som ordnar elementen ”tvärtom” jämfört med den ursprungliga funktionen.

Inledande exempel

Till att börja med tar vi en enkel linjär funktion f(x) = 2x. Hur ser den här funktionens funktionsvärden ut? För de första positiva heltalen till exempel ser funktionsvärdena ut så här:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Vi ser att om vi sätter in en tvåa i funktionen får vi tillbaka en fyra. Vad ska den inversa funktionen till den här funktionen göra? Den ska fungera åt andra hållet — vi ska sätta in en fyra i den, och funktionen ska ge oss tillbaka en tvåa. Den inversa funktionen, som vi betecknar f⁻¹, ska alltså avbilda elementen tvärtom, dvs. så här:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Hur ordnar vi det? Om den ursprungliga funktionen gav det dubbla värdet av x ska den inversa funktionen i stället ge hälften av x. Om vi sätter in en trea har vi efter fördubblingen en sexa. Om vi tar hälften av sexan har vi trean tillbaka. Den inversa funktionen skrivs då så här:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definition

Nu definierar vi den inversa funktionen ordentligt. Låt f vara en funktion med definitionsmängd D_f och värdemängd V_f. Av definitionen av en funktion gäller att för varje element x i definitionsmängden D_f finns ett element y i värdemängden V_f för vilket f(x) = y.

Den inversa funktionen f⁻¹ är då den funktion för vilken det gäller att:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Vad säger den här definitionen? Att om vi anropar funktionen f med argumentet x och därigenom får värdet y, så måste det gå att anropa den inversa funktionen med argumentet y, och då måste den ge värdet x.

Vi visar det också med figurer. Den första figuren visar den ursprungliga funktionen f, som ger det dubbla värdet av det värde den får. Den vänstra cirkeln föreställer definitionsmängden, mängden som vi väljer värden på x ur. Den högra cirkeln föreställer värdemängden, mängden av värden som funktionsvärdet kan anta. Pilarna visar vilket indata som avbildas på vilket utdata. Det borde förstås finnas oändligt många pilar, det här är bara en liten del av funktionen.

Nu följer en figur av den inversa funktionen. Den ser mycket lik ut, framför allt ändras pilarnas riktning, och definitionsmängden och värdemängden ändras också. De byter plats.

Vi ser att den ursprungliga funktionen avbildade från D_f till V_f, medan den inversa funktionen avbildar tvärtom, från V_f till D_f. Alltså är den ursprungliga funktionens definitionsmängd lika med den inversa funktionens värdemängd, och den ursprungliga funktionens värdemängd är lika med den inversa funktionens definitionsmängd.

När finns den inversa funktionen?

Först och främst gäller att en invers funktion inte alltid finns, och det beror på en grundläggande egenskap hos funktioner. Om vi tar två lika element i definitionsmängden a = b måste funktionen alltid ge samma resultat f(a) = f(b). När vi återvänder till funktionen som gav det dubbla värdet måste det alltid gälla att f(5) = 10. Det kan inte hända att funktionen till exempel ger tretton: f(5) = 13 — det får aldrig inträffa för en funktion, enligt definitionen.

Låt oss nu analysera situationen där vi till exempel har en andragradsfunktion f(x) = x². Vad ger funktionen om vi anropar den med argumenten x₁ = 2 och x₂ = −2? I båda fallen ger funktionen värdet 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Än så länge är allt som det ska. Men hur skulle den inversa funktionen se ut? Om vi bildade den inversa funktionen till den här andragradsfunktionen skulle det samtidigt behöva gälla:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Och det är som vi vet inte möjligt. En funktion kan inte ge olika resultat för samma argument. När finns alltså den inversa funktionen? Om funktionen aldrig ger samma värde för två olika argument. Det är precis definitionen av en injektiv funktion:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Den inversa funktionen till f finns om och endast om f är injektiv. Vi förklarar också med figurer varför det verkligen inte kan finnas någon invers funktion till en funktion som inte är injektiv. Med pilar visar vi en del av andragradsfunktionen f(x) = x²:

Om vi försökte vända på pilarna skulle vi få den här figuren:

Vi får en figur där två pilar går från en och samma punkt till olika tal i den andra mängden. Det uppfyller inte definitionen av en funktion, och därför kan den inversa funktionen inte finnas.

Grafisk betydelse

Om du tar grafen till en funktion och den inversa funktionen finns, så är graferna symmetriska kring linjen y = x (förstakvadrantens bisektris) — som samtidigt är grafen till funktionen f(x) = x.

Beräkning av den inversa funktionen

Om du har en given funktion och ska beräkna dess inversa funktion går du tillväga så att du gör om funktionen till en ekvation och löser ut x ur ekvationen. Den linjära funktionen f(x) = 2x som vi nämnde först skriver vi alltså om så här:

$$y=2x$$

Där börjar vi. Målet är att uttrycka x med hjälp av y. Här går det ganska snabbt, du dividerar helt enkelt ekvationen med två

$$\frac{y}{2}=x$$

och har x uttryckt. Den inversa funktionen blir alltså $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Ett exempel till:

$$f(x)=4x-7$$

Vi sätter in i ekvationen och löser ut x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Den inversa funktionen ser alltså ut så här:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Vi kan pröva det. Vi beräknar den ursprungliga funktionens värde för tre:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Om vi har beräknat den inversa funktionen rätt ska vi få trean tillbaka när vi anropar den med värdet 5:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Ett exempel till:

$$f(x)=x^2+1$$

Vi löser ut x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Nu har vi hamnat i en obehaglig situation. x² kan vi nämligen inte bara dra roten ur och få x, vi måste lägga till absolutbelopp, alltså:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

När vi sätter in det i den förra ekvationen:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Då får vi dock två resultat, ett positivt och ett negativt:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Resultatet är att vi för ett y har två olika x, utom när roten är noll. Vi kan dock hitta en invers funktion på ett visst intervall. Om vi tittar på funktionens graf:

ser vi att den inversa funktionen kan finnas på intervallet [0, +∞[. Vi kan alltså bara ta lösningen för x₁. Då får vi en funktion vars graf du ser i figuren:

Vi kan alltså säga att på det intervallet finns den inversa funktionen

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$