Fonction réciproque

La fonction réciproque est une fonction qui associe les éléments « à l’envers » par rapport à la fonction de départ.

Exemple d’introduction

Pour commencer, prenons une fonction linéaire très simple f(x) = 2x. À quoi ressemblent les valeurs de cette fonction ? Par exemple, pour les premiers entiers naturels, les valeurs de la fonction sont :

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Nous voyons que si l’on met 2 dans la fonction, on obtient 4. Que devrait faire la fonction réciproque ? Elle devrait fonctionner à l’envers : on devrait y mettre 4 et elle devrait nous rendre 2. La fonction réciproque, notée f⁻¹, doit donc associer les éléments à l’envers, c’est-à-dire :

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Comment faire ? Si la fonction d’origine renvoie le double du paramètre x, la fonction réciproque doit au contraire renvoyer la moitié de x. Si l’on met 3, on obtient 6 après la multiplication par deux. Si l’on prend la moitié de 6, on retrouve 3. La fonction réciproque s’écrit donc :

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Définition

Définissons maintenant la fonction réciproque proprement. Soit donc une fonction f dont l’ensemble de définition est ${\mathcal{D}}_f$ et dont l’ensemble image est Im f. D’après la définition d’une fonction, pour tout élément x de l’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$, il existe un élément y de l’ensemble image Im f tel que f(x) = y.

La fonction réciproque f⁻¹ est alors la fonction telle que :

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Que dit cette définition ? Si l’on appelle la fonction f avec l’argument x et que l’on obtient la valeur y, alors on doit pouvoir appeler la fonction réciproque avec l’argument y, et elle doit renvoyer la valeur x.

Montrons tout cela sur des figures. La première figure représente la fonction f d’origine, qui renvoie le double de la valeur donnée. Le cercle de gauche représente l’ensemble de définition, c’est-à-dire l’ensemble dans lequel on choisit les valeurs de x. Le cercle de droite représente l’ensemble image, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs que peut prendre la fonction. Les flèches indiquent quelle entrée est envoyée sur quelle sortie. Il devrait bien sûr y avoir une infinité de flèches : ce n’est qu’une petite partie de la fonction.

Vient ensuite la figure de la fonction réciproque. Elle ressemble beaucoup à la précédente : c’est surtout le sens des flèches qui change, ainsi que l’ensemble de définition et l’ensemble image, qui s’échangent.

Nous voyons que la fonction d’origine va de ${\mathcal{D}}_f$ vers Im f, alors que la fonction réciproque va dans l’autre sens, de Im f vers ${\mathcal{D}}_f$. Ainsi, l’ensemble de définition de la fonction d’origine est égal à l’ensemble image de la fonction réciproque, et l’ensemble image de la fonction d’origine est égal à l’ensemble de définition de la fonction réciproque.

Existence de la fonction réciproque

Tout d’abord, la fonction réciproque n’existe pas toujours, à cause d’une propriété fondamentale des fonctions. Si l’on prend deux éléments identiques a = b de l’ensemble de définition, la fonction doit toujours renvoyer le même résultat f(a) = f(b). Revenons à la fonction qui renvoyait le double : on doit toujours avoir f(5) = 10. Il ne peut pas arriver qu’elle renvoie par exemple treize : f(5) = 13 – cela ne peut pas se produire, par définition.

Analysons maintenant la situation d’une fonction polynôme du second degré f(x) = x². Que renvoie la fonction si on l’appelle avec les arguments x₁ = 2 et x₂ = −2 ? Dans les deux cas, elle renvoie la valeur 4 :

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Jusque-là, tout va bien. Mais à quoi ressemblerait la fonction réciproque ? Si l’on construisait la fonction réciproque de cette fonction du second degré, il faudrait en même temps que :

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Or, c’est impossible, comme nous le savons. Une fonction ne peut pas renvoyer des résultats différents pour les mêmes arguments. Quand la fonction réciproque existe-t-elle donc ? Lorsque deux arguments d’entrée différents ne donnent jamais la même valeur. C’est exactement la définition d’une fonction injective :

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

La fonction réciproque de f existe si et seulement si f est injective. Expliquons encore à l’aide des figures pourquoi une fonction réciproque ne peut vraiment pas exister pour une fonction qui n’est pas injective. Représentons à l’aide de flèches une partie de la fonction f(x) = x² :

Si l’on essayait d’inverser les flèches, on obtiendrait la figure suivante :

On obtient une figure où d’un même point partent deux flèches vers des nombres différents de l’autre ensemble. Cela ne respecte pas la définition d’une fonction, donc la fonction réciproque ne peut pas exister.

Signification graphique

Si tu prends le graphe d’une fonction dont la fonction réciproque existe, ces deux graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice, qui est en même temps le graphe de la fonction f(x) = x.

Calcul de la fonction réciproque

Si tu as une fonction et qu’on te demande de calculer sa fonction réciproque, on procède ainsi : on écrit la fonction sous forme d’équation et on isole x. Reprenons donc d’abord la fonction f(x) = 2x citée plus haut :

$$y=2x$$

C’est notre point de départ. Le but est d’exprimer x en fonction de y. Ici, cela va assez vite : divise simplement l’équation par deux

$$\frac{y}{2}=x$$

et tu as exprimé x. La fonction réciproque est donc $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Autre exemple :

$$f(x)=4x-7$$

Écrivons l’équation puis isolons x :

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

La fonction réciproque est donc :

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Vérifions. Calculons la valeur de la fonction d’origine pour la valeur 3 :

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Si nous avons bien calculé la fonction réciproque, nous devrions retrouver 3 en l’appelant avec la valeur 5 :

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Autre exemple :

$$f(x)=x^2+1$$

Isolons x :

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Nous voilà face à un problème. On ne peut pas simplement prendre la racine carrée de x² pour obtenir x : il faut ajouter la valeur absolue, c’est-à-dire :

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

En remplaçant dans l’équation précédente :

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Nous obtenons ainsi deux résultats, l’un positif et l’autre négatif :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Il en résulte que, pour une valeur de y, on obtient deux valeurs différentes de x, sauf lorsque la racine est nulle. On peut néanmoins trouver une fonction réciproque sur un intervalle donné. Regardons le graphe de la fonction :

On constate que la fonction réciproque pourrait exister sur l’intervalle [0 ; +∞[. On ne retient donc que l’expression isolée pour x₁. On obtient alors la fonction dont le graphe est représenté ci-dessous :

On peut donc dire que sur cet intervalle, la fonction réciproque existe :

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$