Inverz függvény

Az inverz függvény olyan függvény, amely az elemeket „fordítva” rendeli hozzá, mint az eredeti függvény.

Bevezető példa

Kezdetként vegyünk egy egyszerű lineáris függvényt, az f(x) = 2x függvényt. Milyen függvényértékei lesznek ennek a függvénynek? Például az első néhány természetes számra a függvényértékek így néznek ki:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Látjuk, hogy ha a függvénybe beírjuk a kettőt, négyet kapunk vissza. Mit kell tennie ennek a függvénynek az inverzének? Fordítva kell működnie – beírjuk a négyet, és a függvénynek a kettőt kell visszaadnia. Az inverz függvény jele f⁻¹, és az elemeket fordítva kell hozzárendelnie, vagyis így:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Hogyan érhetjük ezt el? Ha az eredeti függvény az x paraméter kétszeresét adta vissza, akkor az inverz függvénynek ellenkezőleg, az x paraméter felét kell visszaadnia. Ha beírjuk a hármat, megkétszerezve hatot kapunk. Ha a hatnak vesszük a felét, megint a hármat kapjuk vissza. Az inverz függvény felírása tehát:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Meghatározás

Most definiáljuk rendesen az inverz függvényt. Legyen adott egy f függvény, amelynek értelmezési tartománya D_f, értékkészlete pedig R_f. A függvény definíciója szerint a D_f értelmezési tartomány minden x eleméhez van az R_f értékkészletnek egy y eleme, amelyre f(x) = y teljesül.

Az f⁻¹ inverz függvény ekkor az a függvény, amelyre igaz:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Mit mond nekünk ez a meghatározás? Azt, hogy ha az f függvényt az x argumentummal hívjuk meg, és ebből az y értéket kapjuk, akkor az inverz függvényt meg lehet hívni az y argumentummal, és az x értéket kell visszaadnia.

Mindezt még ábrákon is megmutatjuk. Az első ábra az eredeti f függvényt ábrázolja, amely a kapott érték kétszeresét adja vissza. A bal oldali kör az értelmezési tartományt jelképezi, azt a halmazt, amelyből az x értékeit választjuk. A jobb oldali kör az értékkészletet jelképezi, azoknak az értékeknek a halmazát, amelyeket a függvényérték felvehet. A nyilak azt mutatják, melyik bemenet melyik kimenetre képződik le. Nyíl természetesen végtelen sok lenne, ez a függvénynek csak egy kis részlete.

Következik az inverz függvény ábrája. Az inverz függvény nagyon hasonlóan néz ki, mindenekelőtt megfordul a nyilak iránya, és megváltozik az értelmezési tartomány és az értékkészlet. Ezek szintén felcserélődnek.

Látjuk, hogy az eredeti függvény D_f-ből R_f-be képezett le, az inverz függvény viszont fordítva, R_f-ből D_f-be. Érvényes tehát, hogy az eredeti függvény értelmezési tartománya megegyezik az inverz függvény értékkészletével, az eredeti függvény értékkészlete pedig az inverz függvény értelmezési tartományával.

Az inverz függvény létezése

Először is: az inverz függvény nem mindig létezik, mégpedig a függvény alapvető tulajdonsága miatt. Ha az értelmezési tartomány két egyenlő elemét vesszük, a = b, akkor a függvénynek mindig ugyanazt az eredményt kell visszaadnia: f(a) = f(b). Ha visszatérünk ahhoz a függvényhez, amely a kétszeresét adta vissza, mindig igaznak kell lennie, hogy f(5) = 10. Nem fordulhat elő, hogy a függvény például tizenhármat adna vissza: f(5) = 13 – ez a meghatározás szerint függvénynél nem történhet meg.

Most pedig elemezzük azt a helyzetet, amikor például az f(x) = x² másodfokú függvényünk van. Mit ad vissza a függvény, ha az x₁ = 2 és az x₂ = −2 argumentummal hívjuk meg? A függvény mindkét esetben a 4 értéket adja:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Eddig rendben. De hogyan nézne ki az inverz függvény? Ha megszerkesztenénk ennek a másodfokú függvénynek az inverzét, egyszerre kellene teljesülnie, hogy:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Ez pedig, ahogy tudjuk, nem lehetséges. A függvény nem adhat vissza különböző eredményeket ugyanarra az argumentumra. Mikor létezik tehát az inverz függvény? Ha a függvény semelyik két bemeneti argumentumra nem ad vissza ugyanazt az értéket. Ez pontosan az injektív (kölcsönösen egyértelmű) függvény meghatározása:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Az f függvény inverze akkor és csak akkor létezik, ha az f függvény injektív. Ábrákon is megmutatjuk, miért nem létezhet inverz függvénye annak a függvénynek, amely nem injektív. Nyilakkal ábrázoljuk az f(x) = x² másodfokú függvény egy részét:

Ha megpróbálnánk megfordítani a nyilakat, ilyen ábrát kapnánk:

Olyan ábrát kapunk, amelyen egy pontból két nyíl vezet a másik halmaz két különböző számába. Ez nem felel meg a függvény meghatározásának, ezért az inverz függvény nem létezhet.

Grafikus jelentés

Ha egy függvénynek létezik inverz függvénye, akkor a két grafikon tengelyesen szimmetrikus lesz az első és harmadik síknegyed szögfelezőjére – ez egyben az f(x) = x függvény grafikonja.

Az inverz függvény kiszámítása

Ha adott egy függvény, és az a feladat, hogy számítsd ki az inverzét, úgy járunk el, hogy a függvényből egyenletet csinálunk, és az egyenletből kifejezzük az x-et. Az elsőként említett f(x) = 2x lineáris függvényt tehát így alakítjuk át:

$$y=2x$$

Ezzel kezdünk. A cél az, hogy az x-et kifejezzük az y függvényében. Itt ez elég gyorsan megy, egyszerűen elosztod az egyenletet kettővel:

$$\frac{y}{2}=x$$

és megvan a kifejezett x. Az inverz függvény tehát $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Következő példa:

$$f(x)=4x-7$$

Behelyettesítünk az egyenletbe, és kifejezzük az x-et:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Az inverz függvény tehát így néz ki:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Ki is próbálhatjuk. Kiszámoljuk az eredeti függvény helyettesítési értékét a 3 helyen:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Ha jól számoltuk ki az inverz függvényt, akkor az 5-tel meghívva vissza kell kapnunk a hármat:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Következő példa:

$$f(x)=x^2+1$$

Kifejezzük az x-et:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Most kellemetlen helyzetbe kerültünk. Az x²-ből ugyanis nem vonhatunk csak úgy gyököt, hogy x legyen, abszolút értéket kell írnunk, vagyis:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Ha behelyettesítünk az előző egyenletbe:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Ezzel viszont két eredményt kapunk, egy pozitívat és egy negatívat:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Az eredmény az, hogy egy y-hoz két különböző x tartozik, kivéve azt az esetet, amikor a gyök nulla. Az inverz függvényt azonban megkereshetjük egy bizonyos intervallumon. Ha megnézzük a függvény grafikonját:

azt látjuk, hogy az inverz függvény létezhetne a [0; +∞[ intervallumon. Így csak az x₁ kifejezését vehetjük. Ekkor olyan függvényt kapunk, amelynek grafikonját az ábrán láthatod:

Mondhatjuk tehát, hogy az adott intervallumon létezik az

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$

inverz függvény.