Обратна функция

Обратната функция е такава функция, която съпоставя елементите „обратно“ спрямо първоначалната функция.

Уводен пример

Като начало да вземем простата линейна функция f(x) = 2x. Как ще изглеждат стойностите на тази функция? Например за първите няколко естествени числа стойностите ще изглеждат така:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Виждаме, че ако вложим във функцията двойка, ще ни се върне четворка. Какво трябва да прави обратната функция на тази функция? Трябва да работи обратно – трябва да вложим в нея четворка и функцията трябва да ни върне двойка. Обратната функция, означаваме я с f⁻¹, трябва да съпоставя елементите обратно, т.е. така:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Как да го постигнем? Ако първоначалната функция връщаше удвоената стойност на параметъра x, тогава обратната функция трябва, напротив, да връща половината от параметъра x. Ако вложим тройка, след удвояването имаме шестица. Ако вземем половината от шестицата, имаме обратно тройката. Обратната функция би имала тогава такъв запис:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Определение

Сега ще определим обратната функция както трябва. Нека имаме функция f с дефиниционно множество D(f) и множество от стойности. От определението за функция е в сила, че за всички елементи x от дефиниционното множество D(f) имаме някакъв елемент y от множеството от стойности, за който е в сила f(x) = y.

Обратната функция f⁻¹ е тогава функция, за която е в сила:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Какво ни казва това определение? Че ако извикаме функцията f с аргумент x и така получим стойността y, тогава обратната функция трябва да може да се извика с аргумент y и трябва да върне стойността x.

Ще покажем всичко това и на чертежи. Първият чертеж представя първоначалната функция f, която връща удвоената подадена стойност. Лявото кръгче представя дефиниционното множество, множеството, от което избираме стойности за x. Дясното кръгче представя множеството от стойности, тоест стойностите, които функцията може да приема. Стрелките показват кой вход в кой изход се изобразява. Стрелките, разбира се, трябва да са безкрайно много, това е само малка част от функцията.

Следва чертежът на обратната функция. Обратната функция ще изглежда много подобно, най-вече ще се смени посоката на стрелките и ще се сменят дефиниционното множество и множеството от стойности. Те също се разменят.

Виждаме, че първоначално функцията изобразяваше от дефиниционното си множество към множеството си от стойности, а обратната функция изобразява обратно – от множеството от стойности към дефиниционното множество. Следователно дефиниционното множество на първоначалната функция е равно на множеството от стойности на обратната функция, а множеството от стойности на първоначалната функция е равно на дефиниционното множество на обратната функция.

Съществуване на обратна функция

Преди всичко, обратната функция не винаги съществува, и то заради основното свойство на функцията. Ако вземем два еднакви елемента на дефиниционното множество a = b, функцията трябва винаги да ни върне един и същ резултат f(a) = f(b). Когато се върнем към онази функция, която връщаше удвоената стойност, винаги трябва да е в сила f(5) = 10. Не може да се случи функцията да ни върне например тринайсет: f(5) = 13 – това по определение не бива да се случва при функция.

А сега да опитаме да анализираме ситуацията, когато имаме например квадратната функция f(x) = x². Какво ще ни върне функцията, ако я извикаме с аргументи x₁ = 2 и x₂ = −2? И в двата случая функцията връща стойността 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Дотук всичко е наред. Как обаче би изглеждала обратната функция? Ако съставим обратната функция на тази квадратна функция, едновременно би трябвало да е в сила:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

А това, както знаем, не е възможно. Функцията не може да връща различни резултати за еднакви аргументи. Кога тогава обратната функция съществува? Ако за никои два входни аргумента функцията не връща една и съща стойност. Което е точно определението за инективна функция:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Обратната функция на функцията f съществува тогава и само тогава, когато функцията f е инективна. Ще изясним с чертежи и защо наистина не може да съществува обратна функция на функция, която не е инективна. Ще изобразим със стрелки част от квадратната функция f(x) = x²:

Ако се опитаме да обърнем стрелките, ще получим такъв чертеж:

Получаваме чертеж, при който от една точка излизат две стрелки към различни числа във второто множество. Това не удовлетворява определението за функция, затова обратната функция не може да съществува.

Графичен смисъл

Ако вземеш графиката на функция и обратната функция съществува, тогава тези графики ще са осево симетрични спрямо ъглополовящата на I и III квадрант – която същевременно представлява графиката на функцията f(x) = x.

Пресмятане на обратна функция

Ако е зададена функция и задачата е да се намери обратната ѝ функция, постъпва се така: от функцията правиш уравнение и от него изразяваш x. Така първо споменатата линейна функция f(x) = 2x преобразуваме така:

$$y=2x$$

С това започваме. Целта е да изразим x чрез y. Тук става сравнително бързо, просто делиш уравнението на две

$$\frac{y}{2}=x$$

и имаш изразено x. Обратната функция ще бъде $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Още един пример:

$$f(x)=4x-7$$

Записваме като уравнение и изразяваме x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Обратната функция ще изглежда така:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Можем да го проверим. Пресмятаме стойността на първоначалната функция при стойност три:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Ако сме пресметнали обратната функция правилно, след извикване със стойност 5 трябва да получим обратно тройката:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Още един пример:

$$f(x)=x^2+1$$

Изразяваме x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Сега попаднахме в неприятна ситуация. От x² не можем просто така да извадим корен и да получим x, трябва да добавим абсолютна стойност, тоест:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Когато заместим в предишното уравнение:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

С това обаче получаваме два резултата, единият положителен, а другият отрицателен:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Резултатът е, че за едно y имаме две различни x, с изключение на случая, когато коренът е нула. Все пак можем да намерим обратната функция в определен интервал. Когато погледнем графиката на функцията:

установяваме, че обратната функция би могла да съществува в интервала [0; +∞). Така можем да вземем само израза за x₁. В този момент получаваме функция, чиято графика ще видиш на чертежа:

Така можем да кажем, че в дадения интервал съществува обратната функция

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$