1次関数

1次関数とは、a と b を実数として、式 y = ax + b で表される関数のことです。a = 0 のときは特別な場合で、さきほどの式は y = b と短く書けます。これは定数関数です（定数関数を1次関数に含めない本もあります。日本の教科書も含めません）。

1次関数の種類

1次関数のグラフはいつも直線なので、わりときれいなグラフになります。たとえば、さきほどの定数関数のグラフは、x軸に平行で、y軸と点 b で交わる直線です。b = 0 のとき、直線はかならず原点 (0, 0) を通ります。この関数は比例とも呼ばれます。

1次関数のそのほかの性質は、a がどんな値かによって決まります。a > 0 なら増加する関数のグラフになり、a < 0 なら減少する関数のグラフになります。関数 y = ax のグラフと関数 y = −ax のグラフは、y 軸に関して対称です。

1次関数の性質

a ≠ 0 のとき、1次関数の定義域は実数全体の集合で、値域も同じです。関数が増加するか減少するかは、定数 a によって決まります。1次関数のグラフと2点以上で交わる水平な直線はないので、1次関数は1対1の関数です。また、周期関数ではなく、定義域全体で連続で、最大値も最小値もありません。1次関数は偶関数でも奇関数でもありません。ただし、b = 0 のときだけは奇関数になります。

例題

関数 y = −3x +1 のグラフをかきなさい。

この関数のグラフは簡単にかけます。1次関数のグラフはどれも直線です（ある区間だけで1次関数のグラフをかく場合は、線分になることもあります）。これがわかっていれば十分です。直線を引くには、2点の座標がわかればよいのです。計算してみましょう。まず、x にいちばん簡単な数、0を代入します。すると f(0) = 1 となります。直線が通る1つ目の点は (0, 1) です。2つ目の点として、たとえば1を代入してみます。すると f(1) = −3 + 1 = −2 となります。2つ目の点の座標は (1, −2) です。これで、この関数のグラフをかくのに必要な2点がそろいました。