Omvendt funktion

En omvendt funktion er en funktion, der knytter elementerne sammen »omvendt« i forhold til den oprindelige funktion.

Indledende eksempel

Til at begynde med tager vi en simpel lineær funktion f(x) = 2x. Hvordan vil funktionsværdierne for denne funktion se ud? For eksempel for de første par naturlige tal vil funktionsværdierne se sådan ud:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Vi ser, at hvis vi putter to i funktionen, får vi fire tilbage. Hvad skulle den omvendte funktion til denne funktion gøre? Den skulle fungere omvendt — vi skulle putte fire i den, og funktionen skulle returnere to. Den omvendte funktion, som vi betegner f⁻¹, skulle afbilde elementerne omvendt, dvs. sådan her:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Hvordan opnår vi det? Hvis den oprindelige funktion returnerede det dobbelte af parameteren x, så skulle den omvendte funktion tværtimod returnere det halve af parameteren x. Hvis vi putter tre i, har vi efter fordobling seks. Hvis vi tager det halve af seks, har vi tre tilbage. Den omvendte funktion ville så have denne forskrift:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definition

Nu definerer vi den omvendte funktion ordentligt. Lad altså f være en funktion med definitionsmængden Dm(f) og værdimængden Vm(f). Ifølge definitionen af en funktion gælder det, at der for alle elementer x i definitionsmængden Dm(f) findes et element y i værdimængden Vm(f), for hvilket f(x) = y.

Den omvendte funktion f⁻¹ er så den funktion, for hvilken der gælder:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Hvad fortæller denne definition os? At hvis vi kalder funktionen f med argumentet x og dermed får værdien y, så skal den omvendte funktion kunne kaldes med argumentet y og skal returnere værdien x.

Vi viser det hele endnu en gang på figurer. Den første figur forestiller den oprindelige funktion f, som returnerer det dobbelte af den givne værdi. Den venstre cirkel repræsenterer definitionsmængden, den mængde, som vi vælger værdier for x fra. Den højre cirkel repræsenterer værdimængden, den mængde af værdier, som funktionsværdien kan antage. Pilene viser så, hvilket input der afbildes på hvilket output. Der skulle selvfølgelig være uendeligt mange pile, dette er kun en lille del af funktionen.

Der følger en figur af den omvendte funktion. Den omvendte funktion vil ligne den meget, først og fremmest ændres pilenes retning, og definitionsmængden og værdimængden ændres. De bytter også plads.

Vi ser, at den oprindelige funktion afbildede fra Dm(f) ind i Vm(f), men den omvendte funktion afbilder tværtimod fra Vm(f) ind i Dm(f). Det gælder således, at definitionsmængden for den oprindelige funktion er lig med værdimængden for den omvendte funktion, og værdimængden for den oprindelige funktion er lig med definitionsmængden for den omvendte funktion.

Eksistens af en omvendt funktion

Først og fremmest gælder det, at en omvendt funktion ikke altid behøver at eksistere, og det på grund af funktionens grundlæggende egenskab. Hvis vi tager to ens elementer i definitionsmængden a = b, så skal funktionen altid returnere det samme resultat f(a) = f(b). Hvis vi vender tilbage til den funktion, der returnerede det dobbelte, så skal det altid gælde, at f(5) = 10. Det kan ikke ske, at funktionen returnerer for eksempel tretten: f(5) = 13 — det må ikke ske for en funktion, ifølge definitionen.

Lad os nu prøve at analysere situationen, hvor vi for eksempel har andengradspolynomiet f(x) = x². Hvad returnerer funktionen, hvis vi kalder den med argumenterne x₁ = 2 og x₂ = −2? Funktionen returnerer i begge tilfælde værdien 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Så langt, så godt. Men hvordan ville den omvendte funktion se ud? Hvis vi opstillede den omvendte funktion til dette andengradspolynomium, skulle der samtidig gælde:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Og det er, som vi ved, ikke muligt. En funktion kan ikke returnere forskellige resultater for de samme argumenter. Hvornår eksisterer den omvendte funktion så? Hvis funktionen for ingen to input-argumenter returnerer den samme værdi. Og det er netop definitionen af en injektiv funktion:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Den omvendte funktion til funktionen f eksisterer, hvis og kun hvis funktionen f er injektiv. Vi forklarer endnu en gang på figurer, hvorfor der virkelig ikke kan eksistere en omvendt funktion til en funktion, der ikke er injektiv. Vi viser med pile en del af andengradspolynomiet f(x) = x²:

Hvis vi prøvede at vende pilene om, ville vi få sådan en figur:

Vi får en figur, hvor der fra ét punkt går to pile til forskellige tal i den anden mængde. Det opfylder ikke definitionen af en funktion, derfor kan den omvendte funktion ikke eksistere.

Grafisk betydning

Hvis du tager grafen for en funktion, så vil graferne, hvis der findes en omvendt funktion, være symmetriske om vinkelhalveringslinjen for første og tredje kvadrant — hvilket samtidig er grafen for funktionen f(x) = x.

Beregning af den omvendte funktion

Hvis du har fået givet en funktion og skal beregne den omvendte funktion til den, går man frem ved at gøre funktionen til en ligning og isolere x i ligningen. Så den først nævnte lineære funktion f(x) = 2x omskriver vi sådan her:

$$y=2x$$

Det er vores start. Målet er at udtrykke x ved y. Her går det ret hurtigt, du dividerer simpelthen ligningen med to

$$\frac{y}{2}=x$$

og du har udtrykt x. Den omvendte funktion bliver således $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Endnu et eksempel:

$$f(x)=4x-7$$

Vi sætter ind i ligningen og isolerer x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Den omvendte funktion bliver så sådan her:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Vi kan afprøve det. Vi beregner funktionsværdien for den oprindelige funktion med værdien tre:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Hvis vi har beregnet den omvendte funktion rigtigt, skulle vi ved at kalde den med værdien 5 få tre tilbage:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Endnu et eksempel:

$$f(x)=x^2+1$$

Vi isolerer x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Nu er vi kommet i en ubehagelig situation. x² kan vi nemlig ikke bare tage kvadratroden af og få x, vi skal tilføje den numeriske værdi, altså:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Når vi sætter det ind i den foregående ligning:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Dermed får vi dog to resultater, et positivt og et negativt:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Resultatet er, at vi for ét y har to forskellige x, bortset fra det tilfælde, hvor kvadratroden er nul. Vi kan dog finde en omvendt funktion på et bestemt interval. Når vi ser på funktionens graf:

finder vi ud af, at den omvendte funktion kunne eksistere på intervallet [0; ∞[. Vi kan således tage kun isoleringen for x₁. Nu får vi en funktion, hvis graf du kan se på figuren:

Vi kan således sige, at der på det givne interval eksisterer den omvendte funktion

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$