Função inversa

A função inversa é uma função que associa os elementos “ao contrário” da função original.

Exemplo introdutório

Para começar, vamos pegar uma função afim simples, f(x) = 2x. Como serão os valores dessa função? Por exemplo, para os primeiros números naturais, os valores da função serão assim:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Vemos que, se colocamos o dois na função, volta o quatro. O que deveria fazer a função inversa dessa função? Deveria funcionar ao contrário — deveríamos colocar nela o quatro e a função deveria nos devolver o dois. A função inversa, que indicamos por f⁻¹, deveria associar os elementos ao contrário, isto é, assim:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Como conseguir isso? Se a função original devolvia o dobro do parâmetro x, então a função inversa deveria, ao contrário, devolver a metade do parâmetro x. Se colocamos o três, depois de dobrar temos o seis. Se tomamos a metade do seis, temos de volta o três. A função inversa teria então esta escrita:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definição

Agora vamos definir a função inversa direito. Seja uma função f com domínio D(f) e conjunto imagem Im(f). Pela definição de função, para todos os elementos x do domínio D(f) temos algum elemento y do conjunto imagem Im(f) para o qual vale f(x) = y.

A função inversa f⁻¹ é então a função para a qual vale:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

O que essa definição nos diz? Que, se chamamos a função f com o argumento x e com isso obtemos o valor y, então deve ser possível chamar a função inversa com o argumento y, e ela deve devolver o valor x.

Vamos mostrar tudo ainda em figuras. A primeira figura representa a função original f, que devolve o dobro do valor passado. O círculo da esquerda representa o domínio, o conjunto do qual escolhemos os valores de x. O círculo da direita representa o conjunto imagem, o conjunto dos valores que o valor da função pode assumir. As setas mostram qual entrada é levada a qual saída. É claro que deveria haver ali infinitas setas; isto é apenas uma pequena parte da função.

Segue a figura da função inversa. A função inversa ficará muito parecida; principalmente muda o sentido das setas e mudam o domínio e o conjunto imagem. Eles também trocam de lugar.

Vemos que, originalmente, a função levava de D(f) a Im(f), mas a função inversa leva ao contrário, de Im(f) a D(f). Vale, portanto, que o domínio da função original é igual ao conjunto imagem da função inversa e o conjunto imagem da função original é igual ao domínio da função inversa.

Existência da função inversa

Antes de tudo, vale que a função inversa nem sempre existe, e isso por causa da propriedade fundamental da função. Se tomamos dois elementos iguais do domínio, a = b, a função precisa sempre nos devolver o mesmo resultado, f(a) = f(b). Voltando àquela função que devolvia o dobro, sempre precisa valer f(5) = 10. Não pode acontecer de a função nos devolver, por exemplo, treze: f(5) = 13 — isso não pode ocorrer em uma função, pela definição.

E agora vamos tentar analisar a situação em que temos, por exemplo, a função quadrática f(x) = x². O que a função nos devolve se a chamamos com os argumentos x₁ = 2 e x₂ = −2? Nos dois casos a função devolve o valor 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Até aí tudo bem. Mas como seria a função inversa? Se montássemos a função inversa dessa função quadrática, teria de valer ao mesmo tempo:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

E isso, como sabemos, não é possível. Uma função não pode devolver resultados diferentes para os mesmos argumentos. Quando, então, a função inversa existe? Se para nenhum par de argumentos de entrada a função devolve o mesmo valor. Que é exatamente a definição de função injetora:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

A função inversa de uma função f existe se, e somente se, a função f é injetora. Vamos esclarecer ainda em figuras por que realmente não pode existir a função inversa de uma função que não é injetora. Mostremos com setas uma parte da função quadrática f(x) = x²:

Se tentássemos inverter as setas, obteríamos esta figura:

Obtemos uma figura em que de um ponto saem duas setas para números diferentes no segundo conjunto. Isso não satisfaz a definição de função, por isso a função inversa não pode existir.

Significado gráfico

Se você pegar o gráfico de uma função e a função inversa existir, então esses gráficos serão simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares — que é, ao mesmo tempo, o gráfico da função f(x) = x.

Cálculo da função inversa

Se você recebe uma função e a tarefa é calcular a sua função inversa, o procedimento é transformar a função em uma equação e isolar o x na equação. Assim, a função afim que mencionamos primeiro, f(x) = 2x, transformamos assim:

$$y=2x$$

Começamos com isso. O objetivo é expressar x em função de y. Aqui é bem rápido: basta dividir a equação por dois

$$\frac{y}{2}=x$$

e temos o x expresso. A função inversa será, portanto, $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Outro exemplo:

$$f(x)=4x-7$$

Substituímos na equação e isolamos o x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

A função inversa ficará, portanto, assim:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Podemos testar. Calculamos o valor da função original com o valor três:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Se calculamos a função inversa corretamente, deveríamos obter de volta o três ao chamá-la com o valor 5:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Outro exemplo:

$$f(x)=x^2+1$$

Isolamos o x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Agora chegamos a uma situação desagradável. Isso porque não podemos simplesmente extrair a raiz de x² e obter x; precisamos acrescentar o valor absoluto, ou seja:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Quando substituímos na equação anterior:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Com isso, porém, obtemos dois resultados, um positivo e outro negativo:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

O resultado é que, para um y, temos dois x diferentes, exceto quando a raiz é nula. De todo modo, podemos encontrar a função inversa em um certo intervalo. Se observarmos o gráfico da função:

descobrimos que a função inversa poderia existir no intervalo [0, +∞[. Podemos então ficar apenas com a expressão de x₁. Nesse momento obtemos uma função cujo gráfico você verá na figura:

Podemos então dizer que, no intervalo dado, existe a função inversa

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$